Ανισότητα σε τρίγωνο

2nisic · #1

Έστω

οι διάμεσοι ενός τριγώνου και r_a,r_b,r_c

οι ακτίνες των παραγεγραμμενων κύκλων.
Να αποδειχθεί ότι: $m_am_bm_c\geq r_ar_br_c$

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

2nisic έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 01, 2021 1:56 pm
Έστω οι διάμεση ενός τριγώνου και οι ακτίνες των παραγεγραμμενων κύκλων.
Να αποδειχθεί ότι:

Είναι

έτσι $r_ar_br_c=\dfrac{E^3}{(s-a)(s-b)(s-c)}$ που με χρήση του τύπου του Ήρωνα γράφεται Es=rs^2

οπότε μένει να δείξουμε $m_am_bm_c\geq rs^2$ η οποία ισχύει, βλέπε π.χ την 15η στο αρχείο εκεί.

#3

Δεδομένου ότι τελευταία δεν βλέπουμε τέτοιου είδους θέματα, ας γράψουμε δυο τρία πράγματα.

Αφετηρία μας είναι η ανισότητα

$\displaystyle{4Rm_a\geq b^2+c^2}$ ,

από την οποία προκύπτει

$\displaystyle{2R(m_a+m_b+m_c)\geq a^2+b^2+c^2.}$

Σε αυτήν εφαρμόζουμε τον μετασχηματισμό της διαμέσου, οπότε λαμβάνουμε

$\displaystyle{m_am_bm_c\geq r(m_a ^2+m_b ^2+m_c^2),}$ δηλαδή

$\displaystyle{m_am_bm_c\geq \frac{3}{4}r(a^2+b^2+c^2).}$

Τώρα η ζητούμενη προκύπτει με εφαρμογή της $\displaystyle{3(a^2+b^2+c^2)\geq (a+b+c)^2.}$

2nisic · #4

Αλλιώς:
Ξεκινάμε από την $m_al_a\geq s(s-a)$

Οπότε $m_a^2m_b^2m_c^2\geq m_al_am_bl_bm_cl_c\geq s(s-a)s(s-b)s(s-c)=E^2s^2=r_a^2r_b^2r_c^2$

Οι τελευταία ισχύει αφού: $r_ar_br_c=\frac{ E^3}{(s - a)(s - b)(s - c)} =\frac{E^3}{\frac{E^2}{s}}=Es$

Ανισότητα σε τρίγωνο

Ανισότητα σε τρίγωνο

Re: Ανισότητα σε τρίγωνο

Re: Ανισότητα σε τρίγωνο

Re: Ανισότητα σε τρίγωνο

Μέλη σε σύνδεση