Αρμονική πρόοδος

#1

: Αρμονική πρόοδος.png (11.95 KiB) Προβλήθηκε 780 φορές

είναι τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου τριγώνου ABC

με τις πλευρές BC, CA, AB

αντίστοιχα.

Αν $\displaystyle A{D^2} + C{Z^2} = 2B{E^2},$ να δείξετε ότι τα μήκη των πλευρών a, b, c

είναι διαδοχικοί όροι αρμονικής προόδου.

Προτεινόμενος φάκελος: Γενικά-επίπεδο Αρχιμήδη Seniors.

#2

Επαναφορά.

ksofsa · #3

Καλησπέρα!

Έστω

το έγκεντρο,

το αντιδιαμετρικό του

και

η προβολή του

στην

.

Είναι $IP=h_{a}-r$ και από τα θεωρήματα διαμέσων παίρνω:

$IA^2=\dfrac{2AK^2+2AD^2-4r^2}{4}$

$AD^2-AK^2=4r(h_{a}-r)$

Διώχνοντας το AK^2

και λύνοντας ως προς AD^2

, παίρνω:

$AD^2=2r(h_{a}-r)+r^2+IA^2$

Από το θεώρημα δύναμης σημείου,

IA^2=r^2+(s-a)^2

και άρα

$AD^2=2h_{a}r+(s-a)^2$

Όμοια , $BE^2=2h_{b}r+(s-b)^2$ και $CZ^2=2h_{c}r+(s-c)^2$ .

Από τη συνθήκη,

$-(2h_{a}r+2h_{c}r-4h_{b}r)=(s-a)^2+(s-c)^2-2(s-b)^2$

$-(2h_{a}r+2h_{c}r-4h_{b}r)=ab+bc-2ca$

Ισχύει $ab=2Rh_{c}$ .

Οπότε , έχω:

$-2r(h_{a}+h_{c}-2h_{b})=2R(h_{a}+h_{c}-2h_{b})\Leftrightarrow (R+r)(h_{a}+h_{c}-2h_{b})=0$ .

Παίρνω
$h_{a}+h_{c}=2h_{b}\Leftrightarrow Rh_{a}+Rh_{c}=2Rh_{b}\Leftrightarrow bc+ab=2ca\Leftrightarrow b=\dfrac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$ .

Άρα, το

αρμονικός μέσος των c,a

και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

#4

ksofsa έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 18, 2021 7:12 pm
Καλησπέρα!

Έστω το έγκεντρο, το αντιδιαμετρικό του και η προβολή του στην .

Είναι $IP=h_{a}-r$ και από τα θεωρήματα διαμέσων παίρνω:

$IA^2=\dfrac{2AK^2+2AD^2-4r^2}{4}$

$AD^2-AK^2=4r(h_{a}-r)$

Διώχνοντας το και λύνοντας ως προς , παίρνω:

$AD^2=2r(h_{a}-r)+r^2+IA^2$

Από το θεώρημα δύναμης σημείου,

και άρα

$AD^2=2h_{a}r+(s-a)^2$

Όμοια , $BE^2=2h_{b}r+(s-b)^2$ και $CZ^2=2h_{c}r+(s-c)^2$ .

Από τη συνθήκη,

$-(2h_{a}r+2h_{c}r-4h_{b}r)=(s-a)^2+(s-c)^2-2(s-b)^2$

$-(2h_{a}r+2h_{c}r-4h_{b}r)=ab+bc-2ca$

Ισχύει $ab=2Rh_{c}$ .

Οπότε , έχω:

$-2r(h_{a}+h_{c}-2h_{b})=2R(h_{a}+h_{c}-2h_{b})\Leftrightarrow (R+r)(h_{a}+h_{c}-2h_{b})=0$ .

Παίρνω
$h_{a}+h_{c}=2h_{b}\Leftrightarrow Rh_{a}+Rh_{c}=2Rh_{b}\Leftrightarrow bc+ab=2ca\Leftrightarrow b=\dfrac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$ .

Άρα, το αρμονικός μέσος των και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

Πολύ ωραία

Αρμονική πρόοδος

Αρμονική πρόοδος

Re: Αρμονική πρόοδος

Re: Αρμονική πρόοδος

Re: Αρμονική πρόοδος

Μέλη σε σύνδεση