Εφαπτόμενες πλευρές

#1

: Εφαπτόμενες πλευρές.png (10.77 KiB) Προβλήθηκε 660 φορές

Σε κυρτό τετράπλευρο ABCD

ο κύκλος διαμέτρου

εφάπτεται της BC.

Να δείξετε

ότι και ο κύκλος διαμέτρου

εφάπτεται της

αν και μόνο αν AB||CD.

#2

Ένα όμορφο θέμα για Α' Λυκείου νομίζω Γιώργο

Ας το επαναφέρουμε και βλέπουμε

STOPJOHN · #3

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 09, 2021 10:08 am
Εφαπτόμενες πλευρές.png
Σε κυρτό τετράπλευρο ο κύκλος διαμέτρου εφάπτεται της Να δείξετε

ότι και ο κύκλος διαμέτρου εφάπτεται της αν και μόνο αν

Καλημέρα Γιώργο ,καλημέρα Στάθη και πολύχρονος με καθυστέρηση.......
Για το ευθύ
Ισχύει ότι ο κύκλος (O)

εφάπτεται της

στο σημείο

και

. Εστω $KM\perp AD$ θα αποδειχθεί ότι $MK=\dfrac{BC}{2},$
Ειναι OK//AB//CD,

και το τετράπλευρο MLKO

είναι εγράψιμο σε κύκλο άρα $\hat{LKO}=\hat{DML}=\hat{CBA}=\phi ,$ και τα τετράπλευρα MLBA,MDCL

είναι εγράψιμα αφού $\hat{DML}=\hat{CBA}=\hat{C_{\epsilon \xi }}$

$\hat{\nu }=\hat{ALB}=90-\omega ,$

Συνεπώς $MB \perp AL,DL\perp MC$ .

$\hat{t}=\hat{LMK}=\hat{LOK},\rho =\hat{CML},\hat{DMK}=t+\rho +\omega \omega =90,\nu +\omega =90 \Rightarrow t+\rho =\nu \Rightarrow MK=CK=KB$

Αρα και ο κύκλος (K)

εφάπτεται στην

ΥΓ το αντίστροφο αύριο

Ισχύει ότι ο κύκλος (O)

εφάπτεται στη

και ο κύκλος (K)

εφάπτεται στη

Θα αποδειχθεί ότι DC//AB

Είναι $\hat{OMK}=\hat{OLK}=90^{0}$
Αρα το τετράπλευρο OMLK

είναι εγγράψιμο σε κύκλο

Από τα ορθογώνια τρίγωνα $ADL,CMB,\hat{OAL}=\hat{OLA}=\omega ,\hat{KMB}=\hat{KBM}=\phi ,$

και απο το θεώρημα χορδής -εφαπτομένης $\hat{DMC}=\hat{MBL}=\phi ,\hat{DLC}=\hat{DAL}=\omega ,\hat{MOL}=2\omega =\hat{MKL}=2\phi \Rightarrow \omega =\phi ,$

Οπότε και τα τετράπλευρα MDCL,MLBA

είναι εγγράψιμα σε κύκλο .

Από το εγγράψιμο τετράπλευρο $MLBA,\hat{MLA}=\hat{MBA},$

και από το εγγράψιμο $MOKL,\hat{MKO}=\hat{MLO}$

Οπότε $\hat{OKL}=\hat{CBA}\Rightarrow OK//AB$

Ομοίως OK//DC

Συνεπώς

#4

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 09, 2021 10:08 am
Εφαπτόμενες πλευρές.png
Σε κυρτό τετράπλευρο ο κύκλος διαμέτρου εφάπτεται της Να δείξετε

ότι και ο κύκλος διαμέτρου εφάπτεται της αν και μόνο αν

: εφαπτόμενοι κύκλοι 1.png (36.63 KiB) Προβλήθηκε 472 φορές

Έστω $AB\parallel DC$ και ο κύκλος διαμέτρου

(κέντρου

(το μέσο της

) εφάπτεται της

στο σημείο

(προφανώς $MK\bot BC$ και $\angle AKD={{90}^{0}}$ ). Αρκεί να δείξουμε ότι $\angle CLB={{90}^{0}}$ όπου

η ορθή προβολή του μέσου

της

στην

.
Το τετράπλευρο MNKL

είναι εγγράψιμο σε κύκλο διαμέτρου

(λόγω των ορθών γωνιών…) και $MN\parallel AB\parallel DC$ (διάμεσο «τραπεζίου»)

Άρα $\angle KLD=\angle KNM\overset{DC\parallel MN\parallel AB}{\mathop{=}}\,\angle XCD=\angle KBA$ και συνεπώς τα τετράπλευρα DCKL,LABK

είναι εγγράψιμα σε κύκλους οπότε:
$\left\{ \begin{matrix} \angle KLC=\angle KDC\overset{DC\parallel AB\left( T\equiv DK\cap AB \right)}{\mathop{=}}\,\angle KTA \\ \angle KLB=\angle KAB\equiv \angle KAT \\ \end{matrix} \right.\overset{\left( + \right)} {\mathop{\Rightarrow }}\,$ $\angle KLC+\angle KLB=\angle KTA+\angle KAT\overset{AK\bot DT}{\mathop{\Rightarrow }}\,\ldots \angle CLB={{90}^{0}}$ και συνεπώς και ο κύκλος διαμέτρου

εφάπτεται της

Αντιστρόφως: Έστω ότι στο κυρτό τετράπλευρο ABCD

οι κύκλοι διαμέτρων AD,BC

εφάπτονται των BC,AD

στα σημεία K,L

αντίστοιχα.. Τότε τα τρίγωνα $\vartriangle DKA,\vartriangle BLC$ είναι ορθογώνια στα K,L

αντίστοιχα και $MK\bot BC,NL\bot AD$ με M,N

τα μέσα των AD,BC

αντίστοιχα και αρκεί να δειχθεί ότι $AB\parallel CD$

Το τετράπλευρο MNKL

είναι εγγράψιμο σε κύκλο διαμέτρου

(λόγω των ορθών γωνιών…) και τα τρίγωνα $\vartriangle LNB,\vartriangle KMA$ είναι ισοσκελή (λόγων των ορθογωνίων τριγώνων και των διαμέσων τους προς την υποτείνουσα)
Έτσι $\angle NBL=\dfrac{\angle KNL}{2}\overset{M,N,K,L\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha }{\mathop{=}}\,\dfrac{\angle KML}{2}=\angle KAM\Rightarrow KLAB$ εγγράψιμο σε κύκλο και ομοίως και DCKL

εγγράψιμο σε κύκλο , οπότε

αντιπαράλληλη της

που είναι αντιπαράλληλη της

, άρα $AB\parallel DC$ και το αντίστροφο έχει αποδειχθεί.

#5

Αφού ευχαριστήσω τον Στάθη και τον Γιάννη για τις λύσεις τους, να πω δυο λόγια για την πηγή. Η άσκηση έχει τεθεί σε διάφορους διαγωνισμούς.

$\displaystyle \bullet$ Ήταν το 4ο πρόβλημα της 25ης Διεθνούς Μαθηματικής Ολυμπιάδας το 1984 που διεξήχθη στην Τσεχοσλαβακία και είχε προταθεί από τον Laurentiu Panaitopol.

$\displaystyle \bullet$ Τέθηκε ξανά το 2015 στην Γερμανική Εθνική Ολυμπιάδα (5ο πρόβλημα).

$\displaystyle \bullet$ Είδαμε ακόμα το πρώτο σκέλος (Αν το ABCD είναι τραπέζιο) στον δεύτερο γύρο του Εθνικού διαγωνισμού της Πολωνίας το 2018(4ο πρόβλημα).

Εφαπτόμενες πλευρές

Εφαπτόμενες πλευρές

Re: Εφαπτόμενες πλευρές

Re: Εφαπτόμενες πλευρές

Re: Εφαπτόμενες πλευρές

Re: Εφαπτόμενες πλευρές

Μέλη σε σύνδεση