Η ακτίνα διχοτομεί διάκεντρο

giannimani · #1

: rad_bis_diak_001.png (31.97 KiB) Προβλήθηκε 495 φορές

Στο οξυγώνιο τρίγωνο ABC

με

, το σημείο

είναι το μέσο της πλευράς

. Το σημείο

είναι εσωτερικό του τριγώνου AMC

, και τέτοιο ώστε $\angle MAB=\angle PAC$ . Έστω

,

τα περίκεντρα των τριγώνων ABC

,

αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι η

διχοτομεί τη διάκεντρο O_1 O_2

.

#2

giannimani έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 18, 2021 10:15 pm
rad_bis_diak_001.pngΣτο οξυγώνιο τρίγωνο με, το σημείο είναι το μέσο της πλευράς . Το σημείο είναι εσωτερικό του τριγώνου , και τέτοιο ώστε $\angle MAB=\angle PAC$ . Έστω , , τα περίκεντρα των τριγώνων , , αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι η διχοτομεί τη διάκεντρο .

: Η ακτίνα διχοτομεί διάκεντρο.png (36.72 KiB) Προβλήθηκε 478 φορές

Έστω $D\equiv AM\cap \left( O \right),D\ne A$ . Ισχύει: $\angle {{O}_{1}}{{O}_{2}}O\overset{\Kappa \alpha \theta \varepsilon \tau \varepsilon \varsigma \,\,\pi \lambda \varepsilon \upsilon \rho \varepsilon \varsigma \,\,\tau o\upsilon \,\,\iota \delta \iota o\upsilon \,\,\pi \rho o\sigma \alpha \nu \alpha \tau o\lambda \iota \sigma \mu o\upsilon }{\mathop{=}}\,\angle PAC\overset{\upsilon \pi o\theta \varepsilon \sigma \eta }{\mathop{=}}\,\angle BAD\overset{A,B,D,C\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha }{\mathop{=}}\,\angle BCD:\left( 1 \right)$ και ομοίως προκύπτει ότι $\angle {{O}_{2}}{{O}_{1}}O=\angle DBC:\left( 2 \right)$
Από $\left( 1 \right),\left( 2 \right)$ προκύπτει η ομοιότητα των τριγώνων $\vartriangle O{{O}_{1}}{{O}_{2}},\vartriangle DBC$ .
Επίσης είναι $\angle AO{{O}_{2}}=\dfrac{\angle AOC}{2}\overset{\varepsilon \pi \iota \kappa \varepsilon \nu \tau \rho \eta -\varepsilon \gamma \gamma \varepsilon \gamma \rho \alpha \mu \mu \varepsilon \nu \eta }{\mathop{=}}\,\angle CDA$ και επειδή η

είναι η ευθεία της διαμέσου του τριγώνου $\vartriangle DBC$ η ομόλογή της

(που σχηματίζει ίση γωνία με την ομόλογη πλευρά $O{{O}_{2}}$ της

στα όμοια τρίγωνα να είναι και αυτή ευθεία της ομόλογης διαμέσου και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Θα μπορούσε να βρίσκεται και σε "χαμηλότερο" φάκελο (πιθανόν να έχεις στο μυαλό σου λύση με τη συμμετροδιάμεσο Γιάννη)

giannimani · #3

: rad_bis.png (65.71 KiB) Προβλήθηκε 453 φορές

Στάθη, καλησπέρα. Σωστά μάντεψες. Τη συμμετροδιάμεσο είχα κατά νου, και το προηγούμενο πρόβλημα
που πρότεινα (Διάμεσος παράλληλη σε ακτίνα).

Η ευθεία

συμμετροδιάμεσος, και $O_{1}O_{2}\bot AP$ .

Αλλά,είναι γνωστό ότι
Αν από ένα σηµείο της συµµετροδιαµέσου (διαµέσου) ϕέρουµε κάθετες στις πλευρές
του τριγώνου που την περιέχουν, τότε η ευθεία που ενώνει τα ίχνη αυτών των καθέτων
είναι κάθετη στην αντίστοιχη διάµεσο (συµµετροδιάµεσο) του τριγώνου.

Δηλαδή, $AP \bot DE$ . Επομένως, $O_{1}O_{2} \parallel DE$ . Επίσης, $OO_{1} \parallel MD$ και $OO_{2} \parallel ME$ .
Τα τρίγωνα $OO_{1}O_{2}$ και MDE

έχουν τις πλευρές τους παράλληλες, επομένως είναι ομοιόθετα,
και εφόσον $AO \parallel MN$ , η

θα διχοτομεί το $O_{1}O_{2}$ .

Η ακτίνα διχοτομεί διάκεντρο

Η ακτίνα διχοτομεί διάκεντρο

Re: Η ακτίνα διχοτομεί διάκεντρο

Re: Η ακτίνα διχοτομεί διάκεντρο

Μέλη σε σύνδεση