Σύγκλιση από συγκλίσεις 1

[ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ]

Σύγκλιση από συγκλίσεις 1.png (39.59 KiB) Προβλήθηκε 829 φορές

Έστω τα σημεία επαφής του έγκυκλου τριγώνου με τις πλευρές του αντίστοιχα και τυχόν σημείο του έγκυκλου, και ας είναι . Αν είναι σεβιανές του τριγώνου (διέρχονται από το ίδιο σημείο), να δείξετε ότι οι διέρχονται από το ίδιο σημείο (έστω )

[Σπύρος Καλλίας]

Από το Θεώρημα Pascal για το εκφυλισμένο εξάγωνο EFDDXE τα σημεία J,K,C είναι συνευθειακά.
Από το ίδιο θεώρημα για το εκφυλισμένο FXEEDF τα σημεία A,K,L είναι συνευθειακά. Όμοια, τα σημεία B,J,L είναι συνευθειακά.
Επομένως τα σημεία A,B,C ανήκουν στις KL,JL,KJ αντίστοιχα.

Είναι γνωστό ότι οι AM,BN,CP συντρέχουν και θέλω να αποδείξω ότι οι JM,KN,LP συντρέχουν.
Από το Θεώρημα Cevian Nest, αρκεί να αποδείξω ότι οι JA,KB,LC συντρέχουν.

Οι πολικές-πόλοι είναι ως προς τον εγγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ABC.
Είναι γνωστό ότι η πολική του J είναι η KL και η πολική του Α είναι η FE. Από το Θεώρημα La Hire ο πόλος της JA είναι το σημείο .
Όμοια, ο πόλος της ΚΒ είναι το σημείο και ο πόλος της LC είναι το σημείο .
Από το Θεώρημα La Hire αρκεί να αποδείξω ότι τα σημεία , , είναι συνευθειακά.

Από το Θεώρημα Desarques, αρκεί να αποδείξω ότι οι ευθείες KE,JD,LF συντρέχουν, που ισχύει (συντρέχουν στο Χ).

Η απόδειξη ολοκληρώθηκε.