ANIΣΟΤΗΤΑ ΜΕ ΠΟΛΛΕΣ ΑΚΤΙΝΕΣ

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

Έστω οξυγώνιο τρίγωνο ABC

, με

το περίκεντρο και το έγκεντρό του αντίστοιχα.
Έστω $r_{a},r_{b},r_{c}$ oι ακτίνες των περιγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων IBC,ICA,IAB

αντίστοιχα.
Έστω $R_{a},R_{b},R_{c}$ oι ακτίνες των περιγεγραμμένων κύκλων τριγώνων OBC,OCA,OAB

αντίστοιχα.
Αποδείξτε ότι $r_{a}+r_{b}+r_{c}\leq R_{a}+R_{b}+R_{c}$

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 25, 2022 6:14 pm
Έστω οξυγώνιο τρίγωνο , με το περίκεντρο και το έγκεντρό του αντίστοιχα.
Έστω $r_{a},r_{b},r_{c}$ oι ακτίνες των περιγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων αντίστοιχα.
Έστω $R_{a},R_{b},R_{c}$ oι ακτίνες των περιγεγραμμένων κύκλων τριγώνων αντίστοιχα.
Αποδείξτε ότι $r_{a}+r_{b}+r_{c}\leq R_{a}+R_{b}+R_{c}$

Γεια σας,

Από νόμο ημιτόνων στο BIC

έχουμε $r_a=\dfrac{a}{2\sin(90^{\circ}+A/2)}}=\dfrac{a}{2\cos A/2}=\dfrac{2R\sin A}{2\cos A/2}=2R\sin A/2$
Από εδώ έχουμε πως $R_a+R_b+R_c \geq \dfrac{9R^2}{2(r+R)}$ έτσι μένει να αποδείξουμε ότι $\sin A/2+\sin B/2+\sin C/2\leq \dfrac{9R}{4(r+R)}$
Είναι $\sin A/2+\sin B/2+\sin C/2\leq \sqrt{3(\sin^2A/2+\sin^2B/2+\sin^2C/2)}=\sqrt{3 \displaystyle \sum_{cyc}\dfrac{1-\cos A}{2}}$
το οποίο με βάση τη $\sum \cos A=1+r/R=1+t$ όπου t=r/R

ισούται με $\sqrt{3\cdot \dfrac{3-(1+t)}{2}}=\sqrt{\dfrac{3(2-t)}{2}}$
και τώρα μένει να δείξω $\sqrt{\dfrac{3(2-t)}{2}}\leq \dfrac{9R}{4(r+R)}= \dfrac{9}{4t+4}\Leftrightarrow 8(2-t)\cdot (t+1)^2\leq 27$
Η ανισότητα Euler $t\leq \dfrac{1}{2}$ έτσι το $\sqrt[3]{(2-t)(t+1)^2}\overset {AM-GM}{\leq} \dfrac{2-t+t+1+t+1}{2}=\dfrac{4+t}{3}\leq \dfrac{3}{2}$
η οποία ισοδύναμα γράφεται $8(2-t)\cdot (t+1)^2\leq 27$ και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #3

Nα ευχαριστήσω τον Πρόδρομο για τη λύση του. Όταν μαθητές σαν τον Πρόδρομο Φωτιάδη ή τον Ορέστη Λιγνό ασχολούνται με θέματά μου, αισθάνομαι ότι κάτι αξιόλογο έχω προτείνει...
Θα ήθελα να γράψω τις σκέψεις που με οδήγησαν στη διατύπωση της ανισότητας.

Όπως παρατήρησε ο Πρόδρομος, από εδώ έχουμε πως $R_a+R_b+R_c \geq \dfrac{9R^2}{2(r+R)}$

Από το νόμο των ημιτόνων στο τρίγωνο $\displaystyle{IBC}$ έχουμε ότι:

$\displaystyle{\frac{{BC}}{{\sin \left( {\angle BIC} \right)}} = 2{r_a} \Leftrightarrow \frac{{2R\sin A}}{{\sin \left( {{{90}^ \circ } + \frac{A}{2}} \right)}} = 2{r_a} \Leftrightarrow \frac{{2R\sin \frac{A}{2}\cos \frac{A}{2}}}{{\cos \frac{A}{2}}} = {r_a} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{ \Leftrightarrow \boxed{{r_a} = 2R\sin \frac{A}{2}}}$ .

Ομοίως έχουμε ότι $\displaystyle{{r_b} = 2R\sin \frac{B}{2}}$ και $\displaystyle{{r_c} = 2R\sin \frac{C}{2}.}$

Με εφαρμογή της ανισότητας Jensen στην κοίλη συνάρτηση $\displaystyle{f\left( x \right) = \sin x,}$ $\displaystyle{x \in \left( {0,\frac{\pi }{2}} \right)},$ βρίσκουμε ότι:

$\displaystyle{f\left( {\frac{A}{2}} \right) + f\left( {\frac{B}{2}} \right) + f\left( {\frac{C}{2}} \right) \le 3f\left( {\frac{{\dfrac{A}{2} + \dfrac{B}{2} + \dfrac{C}{2}}}{3}} \right) = 3f\left( {\frac{\pi }{6}} \right) \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\Leftrightarrow \boxed{\sin \frac{A}{2} + \sin \frac{B}{2} + \sin \frac{C}{2} \le \frac{3}{2}}}$ $\bf$ .

Έτσι μπορώ να γράψω, αν πολλαπλασιάσω την τελευταία ανισότητα επί

, ότι

$r_{a}+r_{b}+r_{c}\leq 3R\Leftrightarrow 3R\geq r_{a}+r_{b}+r_{c}$

Aν ισχύει η ανισότητα $\displaystyle\frac{9R^{2}}{2\left ( R+r \right )}\geq 3R$ , τότε έχω την ανισότητα που ήθελα...

Αλλά αυτή η ανισότητα είναι ισοδύναμη της πασίγνωστης $R\geq 2r$ , αυτό διαπιστώνεται πολύ εύκολα.

Το μόνο που είχα πλέον ήταν να προτείνω το θέμα...

ANIΣΟΤΗΤΑ ΜΕ ΠΟΛΛΕΣ ΑΚΤΙΝΕΣ

ANIΣΟΤΗΤΑ ΜΕ ΠΟΛΛΕΣ ΑΚΤΙΝΕΣ

Re: ANIΣΟΤΗΤΑ ΜΕ ΠΟΛΛΕΣ ΑΚΤΙΝΕΣ

Re: ANIΣΟΤΗΤΑ ΜΕ ΠΟΛΛΕΣ ΑΚΤΙΝΕΣ

Μέλη σε σύνδεση