Τομή πάνω στον περίκυκλο

Henri van Aubel · #1

Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ABC

εγγεγραμμένο σε κύκλο $\Gamma$ . Κύκλος που περνάει από τα

,

επανατέμνει τις πλευρές

,

στα σημεία

και

αντίστοιχα. Οι ευθείες

,

επανατέμνουν τον κύκλο $\Gamma$ στα σημεία

,

αντίστοιχα και οι εφαπτομένες του $\Gamma$ στα σημεία

,

τέμνουν την ευθεία

στα σημεία

και

αντίστοιχα. Να δείξετε ότι οι ευθείες

και

τέμνονται πάνω στον κύκλο $\Gamma .$

Henri van Aubel · #2

Επαναφορά!

Δείτε το. Θα σας αρέσει, είναι όμορφο πρόβλημα

#3

Henri van Aubel έγραψε: Πέμ Αύγ 24, 2023 12:06 pm Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο $\Gamma$ . Κύκλος που περνάει από τα , επανατέμνει τις πλευρές , στα σημεία και αντίστοιχα. Οι ευθείες , επανατέμνουν τον κύκλο $\Gamma$ στα σημεία , αντίστοιχα και οι εφαπτομένες του $\Gamma$ στα σημεία , τέμνουν την ευθεία στα σημεία και αντίστοιχα. Να δείξετε ότι οι ευθείες και τέμνονται πάνω στον κύκλο $\Gamma .$

Έστω

το δεύτερο (εκτός του

) σημείο τομής του περίκυκλου του τριγώνου $\vartriangle BDE$ με τον περίκυκλο του τριγώνου $\vartriangle ABC$ και αρκεί ως ισοδύναμο πρόβλημα να δείξουμε ότι S,H,L

και

είναι συνευθειακές τριάδες

: Τομή πάνω στον κύκλο.png (65.52 KiB) Προβλήθηκε 1136 φορές

Είναι $\angle SCM\overset{\upsilon \pi o\,\,\chi o\rho \delta \eta \varsigma \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\varepsilon \varphi \alpha \pi \tau o\mu \varepsilon \nu \eta \varsigma \,\,\sigma \tau o\nu \,\,\kappa \upsilon \kappa \lambda o\,\,\left( A,B,C \right)}{\mathop{=}}\,\angle SAC\overset{A,S,B,C\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha }{\mathop{=}}\,{{180}^{0}}-\angle SBC$ $\overset{\angle SBC\equiv \angle SBD}{\mathop{=}}\,{{180}^{0}}-\angle SBD\overset{S,E,D,B\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha }{\mathop{=}}\,\angle SED\equiv \angle SEM\Rightarrow S,E,C,M$ ομοκυκλικά, άρα $\angle MSC=\angle MEC\equiv \angle DEC\overset{E,A,C,D\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha }{\mathop{=}}\,$ $\angle DAC\equiv \angle GAC\overset{A,S,G,C\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha }{\mathop{=}}\,\angle GSC\Rightarrow S,G,M$ συνευθειακά

Με ακριβώς όμοιο τρόπο προκύπτει ότι S,H,L

συνευθειακά και το ισοδύναμο ζητούμενο έχει αποδειχθεί . (Η απόδειξη της εν λόγω δεύτερης συνευθειακότητας φαίνεται στο σχήμα)

Παρατηρήσεις:
Φυσικά το σημείο $S\equiv LH\cap MG$ είναι το σημείο Miquel του πλήρους τετραπλεύρου (δεν έχει σχηματιστεί στο σχήμα) με κορμό το εγγεγραμμένο τετράπλευρο AECD

με ότι αυτό συνεπάγεται

Και φυσικά $HG\parallel ED$

Henri van Aubel · #4

Στάθη σε ευχαριστώ θερμά και πάλι! Βάζω και τη δική μου λύση.

Έστω

το δεύτερο σημείο τομής της ευθείας

με τον κύκλο $\left ( ABC \right )$ , επομένως $MC^{2}=MG\cdot MX$ .

Όμως $\angle MDC=\angle BDE=\angle BAC=\angle DCM$ και συνεπώς $MD^{2}=MG\cdot MX\Rightarrow \angle GXD=\angle GDM=\angle ADE.$

Αφού $\angle BXG=\angle DAE$ έπεται ότι $\angle BXD=\angle BXG+\angle GXD=\angle DAE+\angle ADE=\angle BED.$

Επομένως BXED

εγγράψιμο.

Έστω X{'}

το δεύτερο σημείο τομής της ευθείας

με τον κύκλο $\left ( ABC \right )$ , οπότε $\angle LX{'}A=\angle HX{'}A=\angle ACE=\angle LDA$ .

Επομένως LX{'}DA

εγγράψιμο και συνεπώς $\angle AX{'}D=\angle DLA=180^\circ-\angle BAL-\angle BED=180^\circ-\angle C-\angle C=\pi -2C.$

Αφού $\angle BX{'}A=180^\circ-\angle C$ έπεται ότι $\angle BX{'}D=\angle BX{'}A-\angle AX{'}D=\angle C=\angle BED.$

Συνεπώς BX{'}ED

εγγράψιμο.

Έστω προς άτοπο ότι $X{'}\neq X$ , τότε οι κύκλοι $\left ( BED \right )$ και $\left ( ABC \right )$ θα έχουν τρία κοινά σημεία που είναι άτοπο. Οπότε $X{'}\equiv X$ και άρα οι ευθείες

και

τέμνονται πάνω στον κύκλο $\left ( ABC \right )$ κλπ.

Τομή πάνω στον περίκυκλο

Τομή πάνω στον περίκυκλο

Re: Τομή πάνω στον περίκυκλο

Re: Τομή πάνω στον περίκυκλο

Re: Τομή πάνω στον περίκυκλο

Μέλη σε σύνδεση