Επαφή στον περίκυκλο

sakis1963 · #1

: 2022.021.FB9531 Mathematica.jpg (61.07 KiB) Προβλήθηκε 768 φορές

Έστω τρίγωνο ABC

,

ο περίκυκλός του και (I)

ο έγκυκλός του.

Ας είναι επίσης

το σημείο επαφής του έγκυκλου με την

και

τα μέσα των AB, AC

αντίστοιχα.

Αν $K=DI\cap MN$ , δείξτε ότι ο κύκλος (K, KD)

εφάπτεται του περίκυκλου (O)

giannimani · #2

Έστω ότι η

τέμνει για δεύτερη φορά τον κύκλο (K, KD)

στο σημείο

.
Τότε, προφανώς $AE \parallel MN\parallel BC$ .
Ο κύκλος (K, KD)

εφάπτεται της χορδής

του κύκλου (O)

στο σημείο

,
Αν είναι ορθογώνιος ενός κύκλου, τότε σύμφωνα με το παρακάτω λήμμα (*) (κριτήριο Αρχιμήδη)
θα εφάπτεται του κύκλου (O)

. Θεωρούμε τον κύκλο (BIC)

. Το κέντρο αυτού
του κύκλου είναι το μέσο

του τόξου

του περιγεγραμμένου κύκλου του $\triangle ABC$
που δεν περιέχει την κορυφή

(Είναι $SB=SC=SI=SI_{a}$ , θεώρημα τρίαινας, $I_{a}$ το

παράκεντρο του τριγώνου ABC

).
Θα αποδείξουμε ότι οι κύκλοι (K, KD)

και

είναι ορθογώνιοι.

: touch_on_circumcircle.png (45.7 KiB) Προβλήθηκε 719 φορές

Αρκεί να αποδείξουμε ότι η διαίρεση (E,D;I,F)

είναι αρμονική, όπου

το δεύτερο
σημείο τομής της

με τον κύκλο (BIC)

.
Πράγματι, η διαίρεση $(A,L;I,I_{a})$ είναι αρμονική, όπου $L= (AI)\cap (BC)$ .
Εφόσον $AE \parallel BC\parallel FI_{a}$ ( $I_{a}F \bot IF$ ) τότε και η διαίρεση (E,D;I,F)

είναι αρμονική, οπότε οι κύκλοι (K, KD)

και

είναι ορθογώνιοι.

Λήμμα (*) (κριτήριο Αρχιμήδη): Έστω ότι ο κύκλος $(\alpha)$ (εδώ ο (K, KD)

) εφάπτεται της χορδής

του κύκλου $(\beta)$ (εδώ ο (O)

) στο σημείο

, και επίσης ο κύκλος $(\alpha)$ είναι ορθογώνιος προς έναν κύκλο $(\gamma)$
(εδώ ο (BIC)

).
Τότε ο κύκλος $(\alpha)$ εφάπτεται του κύκλου $(\beta)$ .

giannimani · #3

Για την πληρότητα της απάντησης δίνουμε τα παρακάτω λήμματα.

Λήμμα Αρχιμήδη : Κύκλος $(\alpha)$ εφάπτεται χορδής

κύκλου $(\beta)$ στο σημείο

, και του κύκλου $(\beta)$ στο σημείο

.
Τότε, η

είναι διχοτόμος της γωνίας MAN

.

Απόδειξη: Συμβολίζουμε με

το δεύτερο σημείο τομής της

με τον κύκλο $(\beta)$ , και έστω

η κοινή εφαπτομένη των δύο κύκλων στο σημείο

, που τέμνει την ευθεία

στο σημείο

.
Είναι, $\angle{CAM}=\angle{MNA}=z$ (γωνία από χορδή και εφαπτομένη). Έστω, επίσης $\angle{MAB}=y$ και $\angle{BAN}=x$ .
Τότε, $\angle{MBA}=x+z$ , και εφόσον το τρίγωνο CAB

είναι ισοσκελές, τότε $\angle{CAB}=\angle{CBA}\, \implies \, z+y=x+z \, \implies \, y=x$ ,
δηλαδή, η

είναι διχοτόμος της γωνίας MAN

.

: lem_archimedes.png (34.24 KiB) Προβλήθηκε 657 φορές

ή

Θεωρούμε την ομοιοθεσία κέντρου

με την οποία ο κύκλος $(\alpha)$ μετασχηματίζεται στον κύκλο $(\beta)$ .
Τότε, η εφαπτομένη

του κύκλου $(\alpha)$ μετασχηματίζεται στην εφαπτομένη $\ell$ στο σημείο

.
Εφόσον $MN \parallel \ell$ , προκύπτει ότι τοξ

= τοξ

$\implies \, \angle{MAL}=\angle{NAL}$ , δηλαδή, η

είναι διχοτόμος της γωνίας MAN

.

[*] Με τις υποθέσεις του προηγούμενου λήμματος, ισχύει ότι ότι $ML^2=LA \cdot LB$ .
(Προκύπτει από την ομοιότητα των τριγώνων MBL

και

:
$\frac{ML}{LA}=\frac{LB}{ML}\, \implies \, ML^2=LB \cdot LA$ .)

[*] Επίσης ο κύκλος $(\gamma)$ κέντρου

και ακτίνας

είναι ορθογώνιος του κύκλου $(\alpha)$ .
(Συμβολίζουμε με

το ένα από τα δύο κοινά σημεία των κύκλων $(\alpha)$ και $(\gamma)$ . Από το προηγούμενο είναι $ML^2=LA \cdot LB$ ,
και εφόσον LK=LM

(ακτίνες του κύκλου $(\gamma)$ ), τότε $LK^2=LA \cdot LB$ , οπότε η ακτίνα

του κύκλου $(\gamma)$ είναι εφαπτομένη
του κύκλου $(\alpha)$ , και επομένως, οι δύο κύκλοι είναι ορθογώνιοι.)

Λήμμα 2: Δύο κύκλοι $(\alpha)$ και $(\beta)$ τέμνονται στα σημεία

και

. Ένας τρίτος κύκλος $(\omega)$ με κέντρο επί της ευθείας

είναι ορθογώνιος του κύκλου $(\alpha)$ . Τότε,ο κύκλος $(\omega)$ είναι ορθογώνιος και του κύκλου $(\beta)$ .

Απόδειξη: Εφόσον οι κύκλοι $(\alpha)$ και $(\omega)$ είναι ορθογώνιοι, τότε $WP \bot PA$ , όπου

το κέντρο του κύκλου $(\omega)$ ,
και το

σημείο τομής των κύκλων $(\alpha)$ και $(\omega)$ . Από το ορθογώνιο τρίγωνο APW

προκύπτει ότι $PW^2=WA^2-AP^2\,$ .

: lem_lemma2.png (26.41 KiB) Προβλήθηκε 657 φορές

Έχουμε επίσης ότι $WA^2-AP^2=WB^2-BR^2 \,$ .
Αλλά WP=WR

(ακτίνες του κύκλου $(\omega)$ ). Ως εκ τούτου, $WR^2=WB^2-BR^2\,$ ,
οπότε το τρίγωνο BRW

είναι ορθογώνιο, από το οποίο προκύπτει ότι $BR \bot WR$ , δηλαδή, οι κύκλοι $(\beta)$ και $(\omega)$ είναι ορθογώνιοι.

[*] Αν ο κύκλος $(\omega)$ είναι ορθογώνιος σε καθένα από δύο τεμνόμενους (στα σημεία

και

) κύκλους $(\alpha)$ και $(\beta)$ , τότε το κέντρο
του κύκλου $(\omega)$ ανήκει στην ευθεία

.

Απόδειξη του Κριτηρίου Αρχιμήδη : Υποθέτουμε ότι ο κύκλος $(\alpha)$ δεν εφάπτεται του κύκλου $(\beta)$ .
Κατασκευάζουμε κύκλο $(\alpha ')$ , ο οποίος εφάπτεται του κύκλου $(\beta)$ , και εφάπτεται επίσης της χορδής

στο σημείο

(Αυτή η κατασκευή επιτυγχάνεται με την ομοιοθεσία κέντρου

και λόγου $\frac{AB}{AL}$ , του κύκλου $(\beta)$ ,
όπου

το μέσο του τόξου

του κύκλου $(\beta)$ , και

η τομή $LB \cap (\beta)$ ).

: krit_archimedes.png (24.77 KiB) Προβλήθηκε 657 φορές

Επομένως, το

είναι το σημείο επαφής των κύκλων $(\alpha ')$ και $(\beta)$ , και

είναι το δεύτερο σημείο
τομής των κύκλων $(\alpha)$ και $(\alpha ')$ .
Γνωρίζουμε ότι ο κύκλος $(\gamma)$ είναι ορθογώνιος του $(\alpha ')$ (βλέπε παραπάνω). Αφετέρου, από
την υπόθεση οι κύκλοι $(\alpha)$ και $(\gamma)$ είναι επίσης ορθογώνιοι. Έχουμε λοιπόν ότι ο κύκλος $(\gamma)$
είναι ορθογώνιος με τους $(\alpha)$ και $(\alpha ')$ . Επομένως, σύμφωνα με προηγούμενη σημείωση το κέντρο του
κύκλου $(\gamma)$ (το σημείο

) πρέπει να ανήκει στην ευθεία

. Αλλά από το λήμμα Αρχιμήδη
το σημείο

ανήκει στην ευθεία

. Επομένως, τα σημεία

και

συμπίπτουν, από το οποίο
προκύπτει ο ισχυρισμός του λήμματος.

giannimani · #4

Τα παραπάνω λήμματα τα βήκα σε ένα pdf αρχείο από τον ρωσικό ιστότοπο Geometry.ru.,
με τίτλο "Γύρω από ένα πρόβλημα του Αρχιμήδη".
Ο ρώσος συγγραφέας αυτού του άρθρου αποδίδει την πατρότητα του κειμένου στον γάλλο Γεωμέτρη
Jean Louis Ayme.

Επαφή στον περίκυκλο

Επαφή στον περίκυκλο

Re: Επαφή στον περίκυκλο

Re: Επαφή στον περίκυκλο

Re: Επαφή στον περίκυκλο

Μέλη σε σύνδεση