Παραλληλία σε ισοσκελές τραπέζιο

#1

Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο με AB||CD

και

. Έστω

το σημείο τομής των διαγωνίων του τραπεζίου και έστω

το μέσο της πλευράς

. Έστω

το δεύτερο σημείο τομής του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου BCM

με την πλευρά

( $K\ne M$ ). Να δείξετε ότι OK||AB

.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Dimessi · #2

Φέρνουμε $OK\parallel AB\left ( K\in AD \right )$ και θα αποδείξουμε ότι το BMKC

είναι εγγράψιμο. Έχουμε $\displaystyle \frac{KD}{AD}\overset{OK\parallel CD}=\frac{OC}{AC}$ και επειδή $\displaystyle \frac{OC}{OA}=\frac{DC}{DA}\cdot \frac{\sin \angle ODC}{\sin \angle ODA}\overset{ABCD\epsilon \gamma \gamma \rho \alpha \psi \iota \mu o}=\frac{DC}{AD}\cdot \frac{BC}{AB}\overset{AD=BC}=\frac{DC}{AB}\Rightarrow \frac{OC}{AC}=\frac{DC}{DC+AB}.$ Έπεται ότι $\displaystyle \frac{KD}{AD}=\frac{DC}{DC+AB}\Rightarrow \frac{KD}{DC}=\frac{AD}{DC+AB}.$ Με

μέσο του

λαμβάνουμε $\displaystyle \frac{BN}{MN}=\frac{2BN}{2MN}=\frac{BC}{DC+AB}=\frac{DC}{DC+AB}=\frac{KD}{DC}$ και λόγω της $\displaystyle \angle KDC\equiv \angle ADC=\angle DCB\overset{MN\parallel DC}=\angle BMN$ έπεται ότι $KDC\sim BMN$ για να πάρουμε $\angle DKC=\angle MBN\equiv \angle MBC$ που δίνει το ζητούμενο. $\blacksquare$
Υ.Γ Τώρα που το κοιτάω βγαίνει και πιο straightforward λύση χωρίς να μετατρέψουμε σε ισοδύναμο πρόβλημα.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

achilleas έγραψε: ↑
Τρί Απρ 02, 2024 8:41 pm
Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο με και . Έστω το σημείο τομής των διαγωνίων του τραπεζίου και έστω το μέσο της πλευράς . Έστω το δεύτερο σημείο τομής του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου με την πλευρά ( $K\ne M$ ). Να δείξετε ότι .

Φιλικά,

Αχιλλέας

Λόγω ισότητας των πράσινων γωνιών είναι AD//ST

Είναι ,

και

και με διαίρεση

$\dfrac{AK}{KD}= \dfrac{AS}{DT} = \dfrac{AO}{DO}= \dfrac{BO}{OD} \Rightarrow OK//AB$

: Παραλληλία σε ισοσκελές τραπέζιο.png (20.27 KiB) Προβλήθηκε 229 φορές

Παραλληλία σε ισοσκελές τραπέζιο

Παραλληλία σε ισοσκελές τραπέζιο

Re: Παραλληλία σε ισοσκελές τραπέζιο

Re: Παραλληλία σε ισοσκελές τραπέζιο

Μέλη σε σύνδεση