Ζητείται θέση

#1

: Ζητείται θέση.png (20.59 KiB) Προβλήθηκε 125 φορές

Έστω

το μέσο ημικυκλίου διαμέτρου AB=2R.

Σε σημείο

του τόξου $\overset\frown {NB}$ φέρνω εφαπτομένη $(\epsilon)$ του

ημικυκλίου. Να βρείτε σημείο

της διαμέτρου AB,

ώστε αν

είναι οι προβολές των N, A, S, B

αντίστοιχα στην $(\epsilon),$ να ισχύει $\displaystyle NN' \cdot SS' + AA' \cdot BB' = {R^2}.$

#2

george visvikis έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 30, 2025 10:19 am
Ζητείται θέση.png
Έστω το μέσο ημικυκλίου διαμέτρου Σε σημείο του τόξου $\overset\frown {NB}$ φέρνω εφαπτομένη $(\epsilon)$ του ημικυκλίου. Να βρείτε σημείο της διαμέτρου ώστε αν είναι οι προβολές των αντίστοιχα στην $(\epsilon),$ να ισχύει $\displaystyle NN' \cdot SS' + AA' \cdot BB' = {R^2}.$

Νομίζω ότι τα δεδομένα του προβλήματος παραπέμπουν σε αναλυτική γεωμετρία (τις σχέσεις (απλές) της αναλυτικής γεωμετρίας που χρησιμοποιήθηκε μπορείτε να τις μετατρέψετε σε ευκλείδειες σχέσεις

Θεωρούμε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων στο οποίο το ημικύκλιο έχει εξίσωση ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{R}^{2}},y\ge 0$ οπότε αν $M\left( {{x}_{1}},{{y}_{1}} \right)\Rightarrow \left( e \right):{{x}_{1}}x+{{y}_{1}}y-{{R}^{2}}=0$ και φυσικά ως προς το εν λόγω σύστημα θα είναι $N\left( 0,R \right),A\left( -R,0 \right),B\left( R,0 \right)$ και ας είναι $S\left( s,0 \right)$ .
Τότε θα είναι $N{N}'=d\left( N,\left( e \right) \right)=\dfrac{\left| {{y}_{1}}R-{{R}^{2}} \right|}{\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}}=\left| {{y}_{1}}R-{{R}^{2}} \right|=R-{{y}_{1}}$ και
$A{A}'=d\left( A,\left( e \right) \right)=\dfrac{\left| -{{x}_{1}}R-{{R}^{2}} \right|}{\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}}=R+{{x}_{1}}$ , $B{B}'=d\left( B,\left( e \right) \right)=\dfrac{\left| {{x}_{1}}R-{{R}^{2}} \right|}{\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}}=R-{{x}_{1}}$ και $S{S}'=d\left( S,\left( e \right) \right)=\dfrac{\left| {{x}_{1}}s-{{R}^{2}} \right|}{R}$
Έτσι έχουμε $N{N}'\cdot S{S}'+A{A}'\cdot B{B}'={{R}^{2}}\Leftrightarrow \left( R-{{y}_{1}} \right)\dfrac{\left| {{x}_{1}}s-{{R}^{2}} \right|}{R}+{{R}^{2}}-x_{1}^{2}={{R}^{2}}$ $\Leftrightarrow \left( R-{{y}_{1}} \right)\dfrac{\left| {{x}_{1}}s-{{R}^{2}} \right|}{R}=x_{1}^{2}\Leftrightarrow$ ${{x}_{1}}s-{{R}^{2}}=\dfrac{Rx_{1}^{2}}{R-{{y}_{1}}}\,\,\,\,\,\vee \,\,\,\,\,{{x}_{1}}s-{{R}^{2}}=-\dfrac{Rx_{1}^{2}}{R-{{y}_{1}}}\Leftrightarrow s=\dfrac{\dfrac{Rx_{1}^{2}}{R-{{y}_{1}}}+{{R}^{2}}}{{{x}_{1}}}\,\,\,\,\,\vee \,\,\,\,s=\dfrac{-\dfrac{Rx_{1}^{2}}{R-{{y}_{1}}}+{{R}^{2}}}{{{x}_{1}}}$

#3

Σ' ευχαριστώ Στάθη για τη λύση

Να πω απλώς ότι η άσκηση κατασκευάστηκε για να έχει Γεωμετρική λύση, γι' αυτό και
τοποθετήθηκε σ' αυτό το φάκελο. Θα περιμένω λίγο ακόμα και αν δεν δοθεί θα την γράψω.

Ζητείται θέση

Ζητείται θέση

Re: Ζητείται θέση

Re: Ζητείται θέση

Μέλη σε σύνδεση