Διοφαντική με δύναμη πρώτου

Γιάννης Μπόρμπας · #1

Να βρεθούν όλοι οι μη αρνητικοί ακέραιοι n,m

και πρώτοι αριθμοί

που είναι τέτοιοι ώστε:
$\displaystyle{\binom{2n}{n}+n!=p^m}$

Γιάννης Μπόρμπας · #2

Επαναφέρω (αν και νωρίς).

Friedoon · #3

Αν

παίρνουμε

Αν

παίρνουμε

Αν

τότε ${{2n}\choose{n}}= 2{{2n-1}\choose{n-1}}$
και 2|n!

Άρα $2|p \Rightarrow p=2$ .
Έστω u_2(a)

ο εκθέτης του 2 στην παραγοντοποίση σε πρώτους παράγοντες του

.
Έστω $u_2({{2n}\choose{n}})=m'$ τότε u_2(n!)=m'

αν δεν ισχύει το παραπάνω καταλήγουμε εύκολα σε άτοπο.
Όμως ισχύει ότι $\dfrac{2n!}{n!}=2^n(2n-1)(2n-3)\cdots 3\cdot 1$
Άρα θα πρέπει να ισχύει $n-u_2(n!)=u_2(n!) \Leftrightarrow n=2u_2(n!)$ .
Όμως $u_2(n!)=[\dfrac{n}{2}]+[\dfrac{n}{2^2}]+...$ (όπου [a]

το ακέραιο μέρος του

)
Άρα για n>7

έχουμε

Ελέγχοντας τις υπόλοιπες περιπτώσεις βρίσκουμε ότι μόνο η (n,m)=(2,3)

επαληθεύει την εξίσωση.

Γιάννης Μπόρμπας · #4

Πολύ ωραία! Διαφορετικά μπορούμε να πούμε ότι:
$\displaystyle{v_2{(2n)!}=\sum_{k=1}^{\infty}\lfloor{\frac{2n}{2^k}}\rfloor=\sum_{k=1}^{\infty}\lfloor{\frac{n}{2^k}}\rfloor+n=v_2(n!)+n}$

Διοφαντική με δύναμη πρώτου

Διοφαντική με δύναμη πρώτου

Re: Διοφαντική με δύναμη πρώτου

Re: Διοφαντική με δύναμη πρώτου

Re: Διοφαντική με δύναμη πρώτου

Μέλη σε σύνδεση