Εύρεση τριών ακεραίων!

#1

Να βρεθούν οι μη αρνητικοί ακέραιοι $\displaystyle{a,b,c,}$ για τους οποίους ισχύει

$\displaystyle{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=\sqrt{2019}.}$

#2

matha έγραψε: Κυρ Δεκ 30, 2018 9:35 pm Να βρεθούν οι μη αρνητικοί ακέραιοι $\displaystyle{a,b,c,}$ για τους οποίους ισχύει

$\displaystyle{\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{2019}.}$

Απάντηση: Μόνο οι τετριμμένες λύσεις $a=b=0, \, c=2019$ και αναδιατάξεις της.

Γράφουμε $\displaystyle{\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{2019}- \sqrt{c}$ και υψώνουμε στο τετράγωνο. Έπεται

$\displaystyle{a+b + 2\sqrt {ab}= 2019 + c -2\sqrt {2019c} }$ και άρα για κάποιον ακέραιο

είναι

$\displaystyle{ 2\sqrt {ab}= A -2\sqrt {2019c} }$ .

Υψώνουμε ξανά στο τετράγωνο οπότε για κάποιους ακέραιους $B, \, C$ είναι $\displaystyle{ B = C\sqrt {2019c}}$ . Έπεται ότι ο

$\displaystyle{2019c = 3\cdot 673\cdot c}$ πρέπει να είναι τέλειο τετράγωνο. Εδώ οι $3, \, 673$ είναι πρώτοι οπότε ο

πρέπει να τους περιέχει ως
παράγοντες. Δεδομένου ότι $c\le 2019$ (από την αρχική), έχουμε $c=3\cdot 673= 2019$ (δεν χωράει άλλος παράγοντας). Τελειώσαμε.

Εύρεση τριών ακεραίων!

Εύρεση τριών ακεραίων!

Re: Εύρεση τριών ακεραίων!

Μέλη σε σύνδεση