Διαιρετότητα με το 1989

#1

Αν $\displaystyle{n\geq 3}$ είναι ακέραιος, να αποδείξετε ότι

$\displaystyle{1989|\Bigleft (n^{n^{n^n}}-n^{n^{n}}\Bigright)}$

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

Καλησπέρα!

Δεν είμαι σίγουρος για την ορθότητα της λύσης:

Γράφουμε $k=n^{n^{n^{n}}}-n^{n^{n}}=n^{n^{n}}\left ( n^{\left (n^{n^n}-n^n \right )} -1\right )$
Είναι $1989=3^2\cdot 13\cdot 17$ ,αρκεί $9,13,17 \mid k$
Δουλεύουμε για κάθε ένα ξεχωριστά:
Αν $n \not\equiv 0 (\mod 13)$ αρκεί $n^{\left (n^{n^n}-n^n \right )} -1\equiv 0(\mod13)\Leftrightarrow n^{n^n}-n^n\equiv 0(\mod(ord_{13}n))$
Όμοια πρέπει $n^{n^n}-n^n\equiv 0(\mod(ord_{17}n)),n^{n^n}-n^n\equiv 0(\mod(ord_{9}n))$ .
Όμως για :
$n( \mod 13 )\in \left [ 1,16 \right ]$ είναι $ord_{13}n=\left ( 1,2,3,4,6,12 \right )$

$n (\mod 17)\in \left [ 1,16 \right ]$ είναι $ord_{17}n=\left ( 4,8,16 \right )$
$n (\mod 9)\in \left [ 1,8 \right ]$ είναι $ord_{9}n=(2,3,6)$
Επομένως αρκεί $n^{n^n}-n^n\equiv 0 (\mod 16),n^{n^n}-n^n\equiv 0(\mod3)$
Το δεύτερο δείχνεται εύκολα,για το πρώτο πήρα όλες τις περιπτώσεις και δουλεύει(ίσως το αναλύσω αύριο αυτό).

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Για να μην γράφω θα χρησιμοποιήσω αυτούσια κομμάτια της απόδειξης του Πρόδρομου .
Επίσης θα θεωρήσω αυτονόητα τα προφανή.
Π.χ αν n=0mod 13

τότε ο αριθμός διαιρείται με

Γράφουμε $k=n^{n^{n^{n}}}-n^{n^{n}}=n^{n^{n}}\left ( n^{\left (n^{n^n}-n^n \right )} -1\right )$

Είναι $1989=3^2\cdot 13\cdot 17$ ,αρκεί $9,13,17 \mid k$

Αρκεί να δείξουμε ότι ο αριθμός

${\left (n^{n^n}-n^n \right )}=n^n(n^{n^{n}-n}-1)$ είναι πολλαπλάσιο του

και

(Euler $\varphi (17)=16,\varphi (13)=12,\varphi (9)=6$ )

Γιαυτό αρκεί ο $n^{n^{n}-n}-1$

να είναι πολλαπλάσιο του

και του

(Euler $\varphi (16)=8$ )

Για το

είναι προφανές.

Για το

μπορούμε να υποθέσουμε ότι ο

είναι περιττός .

Αν n=2k+1

τότε

$(1+2k)^{1+2k}-(2k+1)=1+(2k+1)2k+\frac{1}{2}(2k+1)2k(2k)^{2}+8r-(2k+1)=$
$8r+4k^{2}(1+k(2k+1))=8m$
και η απόδειξη ολοκληρώθηκε, παραλείποντας βέβαια κάποια σχεδόν ''προφανή'' κομμάτια.

Διαιρετότητα με το 1989

Διαιρετότητα με το 1989

Re: Διαιρετότητα με το 1989

Re: Διαιρετότητα με το 1989

Μέλη σε σύνδεση