Ακολουθία!

Ορέστης Λιγνός · #1

Άλλη μία άσκηση που έφτιαξα :

Έστω η ακολουθία φυσικών (a_n)

ώστε :

$\bullet \, \, a_1=0, a_2=1, a_3=6$
$\bullet \, \, a_{n+3}=3a_{n+2}-3a_{n+1}+a_n+6$ , $\forall n \in \mathbb{N}=\{0,1, \ldots \}$ .

Να εξετάσετε, αν υπάρχει όρος της ακολουθίας που να είναι δυνατό να γραφεί στη μορφή 2019^m

με $m \geqslant 1$ και $m \in \mathbb{N}$ .

min## · #2

Καλησπέρες Ορέστη,ωραίο πρόβλημα

Λήμμα 1.
$a_{n}=(n-1)(n^2-3n+3)$
Απόδειξη 1.
Με Επαγωγή,εύκολο.
Απόδειξη 2.
Θέτω $a_{n}=b_{n}+n^3$ για να διώξω τη σταθερά

.
Πράγματι η δοθείσα μετατρέπεται σε $b_{n+3}=3b_{n+2}-3b_{n+1}+b_{n}$ η οποία λύνεται κλασικά:
Η Χαρακτηριστική της εξίσωση είναι η $(\lambda -1)^3=0$ από όπου $\lambda =1$ με πολλαπλότητα 3 και συνεπώς οι λύσεις είναι της μορφής $b_{n}=a\cdot (1)^n+b\cdot n\cdot (1)^n+c\cdot n^2\cdot (1)^n$ .
Λαμβάνοντας υπόψιν τις αρχικές τιμές,παίρνω την παραπάνω μοναδική λύση.

Πλέον έχω να δω αν ισχύει (n-1)(n^2-3n+3)=2019^m

για κάποιο

.
Με λίγη σκέψη συμπεραίνω πως (n-1,n^2-3n+3)=1

(
Είναι $p/n-1,p/n^2-3n+3 \Rightarrow p/n-2$ )
Αφού κι όλας n-1<n^2-3n+3

παίρνω πως αναγκαστικά (n-1)=3^m,n^2-3n+3=673^m

το οποίο για ανισοτικούς λόγους δεν μπορεί να συμβαίνει.
Άρα τελικά κανένας όρος της ακολουθίας δεν είναι δύναμη του 2019

.

Edit.Άλλαξα το τέλειωμα καθότι ήταν λάθος όπως το είχα πρωτοκάνει (ευχαριστώ και τον Ορέστη γιαα την επισήμανση).
Edit2.Παρατηρώ ότι είναι ίδιο με του κ.Σταύρου.Τελοσπάντων...Το αφήνω

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Για να δούμε ένα διαφορετικό τελείωμα.

Εστω ότι είναι (n-1)(n^2-3n+3)=2019^m

για κάποιο

.

Είναι $(n-1,n^{2}-3n+3)=(n-1,n^{2})=1$

Επίσης 2019=3.673

με

πρώτο.

Ετσι θα πρέπει $n-1=3^{m},n^{2}-3n+3=673^{m}$

θα έχουμε

$673^{m}=n^{2}-3n+3< n^{2}+3< (2.3^{m})^{2}+3=4.9^{m}+3$

που προφανώς είναι ΑΤΟΠΟ.

Ακολουθία!

Ακολουθία!

Re: Ακολουθία!

Re: Ακολουθία!

Μέλη σε σύνδεση