Μέγιστος πρώτος αριθμός συγκεκριμένης μορφής

#1

Να βρείτε τον μεγαλύτερο πρώτο αριθμό

, για τον οποίο υπάρχουν θετικοί ακέραιοι a, b

τέτοιοι, ώστε $p=\dfrac{b}{2}\sqrt{\dfrac{a-b}{a+b}}.$

#2

Η απάντηση είναι p=5

.

Η εξίσωση γίνεται ισοδύναμα: 4p^2(a+b)=b^2(a-b)

. Θέτουμε $a=b+k, \ k > 0$ και η εξίσωση μετά τις πράξεις γίνεται:

$\displaystyle{kb^2-8p^2b-4p^2k=0 \ \ (1)}$

με διακρίνουσα $\Delta=16p^2\left(4p^2+k^2\right)$ απ' όπου πρέπει 4p^2+k^2=r^2

με $r\in\mathbb{N}$ .

Η τελευταία γίνεται $(r-k)(r+k)=4p^2 \ \ (2)$ και επειδή οι μόνοι διαιρέτες του 4p^2

είναι οι

και

και το άθροισμα των $r-k, \ r+k$ είναι άρτιος, οι μόνες περιπτώσεις για τους παράγοντες $r-k, \ r+k$ ώστε να ισχύει η (2)

είναι:

$\begin{cases} r-k=p \\ r+k=4p \\ (\text{\gr μόνο αν} \ p=2) \end{cases}$ ή $\begin{cases} r-k=2 \\ r+k=2p^2 \end{cases}$

Στο 1ο σύστημα για p=2

βγάζουμε εύκολα τη λύση p=2, b=12, a=15

.

Στο 2ο σύστημα βρίσκουμε αρχικά r=p^2+1, k=p^2-1

οπότε από την εξίσωση (1) παίρνουμε:

$b=\dfrac{8p + 4p(p^2+1)}{2(p^2-1)}=2p+4+\dfrac{4}{p-1}$ ή $b=\dfrac{8p - 4p(p^2+1)}{2(p^2-1)}=-2p+4-\dfrac{4}{p+1}$ .

απ' όπου στην 1η περίπτωση παίρνουμε p-1=1,2,4

δηλαδή

(για την οποία υπάρχουν a,b

όπως έχουμε ήδη βρει παραπάνω), p=3

(απ' όπου παίρνουμε τη λύση b=12, a=20

) και

(απ' όπου παίρνουμε b=15, a=39

) ενώ στη 2η περίπτωση παίρνουμε p+1=1, 2, 4

δηλαδή

(για την όποια ήδη έχουμε βρει a,b

που να την ικανοποιούν).

Άρα ο μέγιστος πρώτος

για τον οποίο υπάρχουν a,b

που να ικανοποιούν την αρχική εξίσωση είναι ο p=5

.

Αλέξανδρος

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

cretanman έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 19, 2020 12:06 am
Η απάντηση είναι .

Η εξίσωση γίνεται ισοδύναμα: . Θέτουμε $a=b+k, \ k > 0$ και η εξίσωση μετά τις πράξεις γίνεται:

$\displaystyle{kb^2-8p^2b-4p^2k=0 \ \ (1)}$

με διακρίνουσα $\Delta=16p^2\left(4p^2+k^2\right)$ απ' όπου πρέπει με $r\in\mathbb{N}$ .

Θα μπορούσαμε να τελειώσουμε ως εξής:
Τα 2p,k,r

είναι Πυθαγόρεια τριάδα.
Παίρνοντας τους τύπους φτάνουμε στο αποτέλεσμα που βρήκε ο Αλέξανδρος.
Οι πράξεις δεν είναι λιγότερες από τις πράξεις του Αλέξανδρου όποτε δεν βλέπω τον
λόγο να τις παραθέσω.

https://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_triple

Ορέστης Λιγνός · #4

emouroukos έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 18, 2020 12:05 am
Να βρείτε τον μεγαλύτερο πρώτο αριθμό , για τον οποίο υπάρχουν θετικοί ακέραιοι τέτοιοι, ώστε $p=\dfrac{b}{2}\sqrt{\dfrac{a-b}{a+b}}.$

Εύκολα έχουμε ότι, $a=b+\dfrac{8p^2b}{b^2-4p^2}$ (1).

Διακρίνουμε 2 περιπτώσεις :

Περίπτωση 1 : Είναι, (p,b)=1

. Αποδεικνύω το εξής Λήμμα :

Λήμμα

Ισχύει, (b^2-4p^2,p^2)=1

.

Απόδειξη

Έστω ότι (b^2-4p^2,p^2)>1

, οπότε υπάρχει πρώτος

ώστε $s \mid (b^2-4p^2)$ και $s \mid p^2$ , οπότε αφού και ο

είναι πρώτος, $s=p \Rightarrow p \mid (b^2-4p^2) \Rightarrow p \mid b$ , άτοπο.

Πίσω στην άσκηση, από το Λήμμα και την (1) προκύπτει ότι $(b^2-4p^2) \mid 8b$ . Οπότε, $b^2-4p^2 \mid 8b^2 \Rightarrow 32p^2=4 \cdot 8b^2-8(b^2-4p^2) \equiv 0 \mod (b^2-4p^2)$ .

Άρα, $b^2-4p^2 \mid 32p^2$ και αφού (b^2-4p^2,p^2)=1

από το Λήμμα, έχω ότι $b^2-4p^2 \mid 32$ .
Οπότε, $(b-2p)(b+2p) \in \{1,2,4,8,16,32 \}$ και δοκιμάζοντας τις πιθανές περιπτώσεις έχουμε άτοπο.

Περίπτωση 2 : Είναι, (p,b)>1

, οπότε $p \mid b$ αφού

πρώτος. Έστω $b=p\ell$ με $\ell$ φυσικό.

Τότε, έχουμε $a=b+\dfrac{8p^2b}{b^2-4p^2}=p\ell +\dfrac{8p\ell}{\ell^2-4}$ .

$\bullet$ Αν $\ell$ περιττός, τότε $(8\ell,\ell^2-4)=1$ , οπότε, $\ell^2-4 \mid p$ , οπότε $\ell^2-4 \in \{1,p \}$ .

Η πρώτη περίπτωση προφανώς απορρίπτεται, ενώ η δεύτερη δίνει $(\ell-2)(\ell+2)=p$ , οπότε $\ell-2=1, \ell+2=p \Rightarrow p=5, \ell =3$ .

Συνεπώς, προκύπτει η λύση (p,a,b)=(5,39,15)

.

$\bullet$ Αν $\ell=2k$ με

φυσικό, τότε $\dfrac{8p\ell}{\ell^2-4}=\dfrac{4pk}{k^2-1} \in \mathbb{N}$ , και αφού (k,k^2-1)=1

, έχουμε $k^2-1 \mid 4p$ , άρα $k^2-1 \in \{1,2,4,p,2p,4p \}$ .

Εύκολα ελέγχουμε ότι καμία από αυτές τις περιπτώσεις δεν δίνει μεγαλύτερο

(οι πρώτες 3 απορρίπτονται άμεσα, η τέταρτη δίνει $(k-1)(k+1)=p \Rightarrow k-1=1,k+1=p$ , άρα p=3<5

, η πέμπτη δίνει k^2-1=2p

οπότε

περιττός και $2p=k^2-1 \equiv 0 \pmod 8 \Rightarrow 4 \mid p$ , άτοπο. Ομοίως η k^2-1=4p

δίνει ως λύση την k=3,p=2<5

).

Τελικά, η μέγιστη τιμή του πρώτου

είναι

.

Μέγιστος πρώτος αριθμός συγκεκριμένης μορφής

Μέγιστος πρώτος αριθμός συγκεκριμένης μορφής

Re: Μέγιστος πρώτος αριθμός συγκεκριμένης μορφής

Re: Μέγιστος πρώτος αριθμός συγκεκριμένης μορφής

Re: Μέγιστος πρώτος αριθμός συγκεκριμένης μορφής

Μέλη σε σύνδεση