Διαιρετότητα με το 2020

#1

Μετά τη διαιρετότητα με το 1989, ακολουθεί μια με το 2020.

Αν $\displaystyle{n}$ θετικός ακέραιος, να αποδείξετε ότι o

$\displaystyle{n^{n^{n^{n^{n^{n}}}}}-n^{n^{n^{n^{n}}}}}}$

διαιρείται με το $\displaystyle{2020.}$

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

matha έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 17, 2020 8:00 pm
Μετά τη διαιρετότητα με το 1989, ακολουθεί μια με το 2020.

Αν $\displaystyle{n}$ θετικός ακέραιος, να αποδείξετε ότι o

$\displaystyle{n^{n^{n^{n^{n^{n}}}}}-n^{n^{n^{n^{n}}}}}}$

διαιρείται με το $\displaystyle{2020.}$

Είναι $2020=2^2\cdot 5\cdot 101$ .Αρχικά θα δείξω ότι $n^{n^{n^{n^{n^{n}}}}} \equiv n^{n^{n^{n^{n}}}}}\pmod4$ .
Αρκεί $n^{n^{n^{n^{n}}}}\equiv n^{n^{n^{n}}}\pmod{\varphi (4)}$ και αφού $\varphi (4)=2$ είναι άμμεσο.
Επίσης θα δείξω πως $n^{n^{n^{n^{n^{n}}}}}\equiv n^{n^{n^{n^{n}}}}\pmod5$ .Είναι $\varphi (5)=4$ άρα αρκεί $n^{n^{n^{n^{n}}}}\equiv n^{n^{n^{n}}}\pmod4$ το οποίο ισχύει καθώς $n^{n^{n^{n}}}\equiv n^{n^{n}}\pmod{\varphi (4)}$
Μένει λοιπόν να δειχθεί ότι $n^{n^{n^{n^{n^{n}}}}} \equiv n^{n^{n^{n^{n}}}}}\pmod{101}$ .Επειδή $\varphi (101)=100$ για να ισχύει αυτό αρκεί
$n^{n^{n^{n^{n}}}} \equiv n^{n^{n^{n}}}}\pmod{100}$
Όπως πριν δείχνουμε ότι $n^{n^{n^{n^{n}}}} \equiv n^{n^{n^{n}}}}\pmod{4}$ άρα μένει να δειχθεί ότι $n^{n^{n^{n^{n}}}} \equiv n^{n^{n^{n}}}}\pmod{25}$ .
Αφού $\varphi (25)=20$ αρκεί $n^{n^{n^{n}}} \equiv n^{n^{n}}}\pmod{20}$ .
Είναι $n^{n^{n}}\equiv n^{n}} \pmod2$ άρα $n^{n^{n^{n}}} \equiv n^{n^{n}}}\pmod{4}$ .
Μένει να δειχθεί ότι $n^{n^{n}}\equiv n^{n}} \pmod4$ και αυτό γιατί $\varphi (5)=4$ .
Για να ισχύει αυτό αρκεί $n^{n}\equiv n \pmod 2$ το οποίο ισχύει και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

Διαιρετότητα με το 2020

Διαιρετότητα με το 2020

Re: Διαιρετότητα με το 2020

Μέλη σε σύνδεση