Διαιρετότητα με πρώτους

Lymperis Karras · #1

Βρείτε όλους τους πρώτους $p,q \leq 2020$ ώστε pq + 2 / p^2 + q^2 +1

2nisic · #2

Lymperis Karras έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 06, 2021 6:59 pm
Βρείτε όλους τους πρώτους $p,q \leq 2020$ ώστε

Vieta jumping!

Edit: joaakim

υπάρχουν λύσης οι (p,q)=(11,29),(199,521)

Λύνουμε την εξίσωση στους ακερεους (όχι και οι δύο αρνητικοί). ab+2|a^2+b^2+1

.
Έστω

και

Άρα $(a,b)\rightarrow (kb-a,b)$ που έχει μικρότερο άθροισμα.

Μπορούμε να συνεχίσουμε αυτή την διαδικασία μέχρι να φτάσουμε σε μια "αρχική" λύση με min(a,b)<=0

.
Και επειδή k>0

έχουμε ότι min(a,b)=0,-1

.

Αν

τότε οι λύση με min(a+b)

είναι η

που δίνει

το οποίο δίνει |ab|<1

οπότε αναγκάστηκα ο ένας ισούται με το μηδέν και ο άλλος με το +-1

.

Αν

τότε το

(την περίπτωση (a,b)=(0,-1)

την είπαμε και πάνω)δίνεται από (a,b)=(1,-1)

που δίνει

.
Οπότε αν x,y

λύση με

έχουμε πώς είναι λύση καί οι (3y-x,y)

.
$(-1,1)\rightarrow (4,1)\rightarrow (4,11)\rightarrow (29,11)\rightarrow (11,76)\rightarrow (199,76)\rightarrow (199,521)\rightarrow (1364,521)\rightarrow (1364,3571)$

Τώρα από αυτές τής λύσης θέλουμε και οι δύο a,b

να είναι πρώτη <2020

έτσι έχουμε μοναδικές λύσης τις (p,q)=(11,29),(199,521)

Joaakim · #3

Όπως είπε και ο Διονύσης, δουλεύει το Vieta Jumping!

Έστω $\displaystyle \frac{p^{2}+q^{2}+1}{pq+2}=k \Rightarrow p^{2}-kpq+q^{2}-2k+1=0$ .

Θεωρώ την δευτεροβάθμια εξίσωση $x^{2}-kqx+q^{2}-2k+1=0$ (1)

Θεωρώ το σύνολο $\displaystyle S=\left \{(p,q) \in (\mathbb{P}, \mathbb{P}), \dfrac{p^{2}+q^{2}+1}{pq+2}=k \right \}$ ,

όπου $\mathbb {P}$ το σύνολο των πρώτων αριθμών.

Είναι $|S| \geq 1$ , οπότε μπορούμε να υποθέσουμε ότι υπάρχει ζεύγος $(P,Q) \in \mathbb{S}$ , που ελαχιστοποιεί το p+q

.

Έστω χωρίς βλάβη ότι $P \geq Q$ , και, σκεπτόμενος την (1)

, έχω την $x^{2}-kQx+Q^{2}-2k+1=0$ (2)

,

που έχει λύσεις τις $P, x_{2}$ .

Από τους τύπους Vieta

παίρνουμε

$\displaystyle P+x_{2}=-\frac{-kQ}{1} \Rightarrow P+x_{2}=kQ$ (3)

$\displaystyle P x_{2}=\frac{Q^{2}-2k+1}{1} \Rightarrow P x_{2}=Q^{2}-2k+1$ (4)

Η

δίνει ότι $x_{2} \in \mathbb{Z}$

Η (4)

δίνει:

$\displaystyle x_{2}=\frac{Q^{2}-2k+1}{P} \leq \frac{P^{2}-2k+1}{P} < \frac{P^{2}+1}{P}=P+\frac{1}{P}<P+1 \Rightarrow$

$\displaystyle \Rightarrow x_{2} \leq \frac{P^{2}-2k+1}{P}<P \Rightarrow x_{2}<P \Rightarrow x_{2}+Q<P+Q$ ,

άτοπο, αφού το P+Q

είναι ελάχιστο.

Συνεπώς δεν υπάρχουν τέτοιοι p,q

.

Edit: Η λύση είναι λάθος. Ευχαριστώ τον Διονύση για την επισήμανση.

Διαιρετότητα με πρώτους

Διαιρετότητα με πρώτους

Re: Διαιρετότητα με πρώτους

Re: Διαιρετότητα με πρώτους

Μέλη σε σύνδεση