Τέλειος κύβος

#1

Να βρεθούν όλοι οι πρώτοι αριθμοί

ώστε ο

να είναι τέλειος κύβος.
Φιλικά,

Αχιλλέας

Ορέστης Λιγνός · #2

achilleas έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 02, 2022 10:55 pm
Να βρεθούν όλοι οι πρώτοι αριθμοί ώστε ο να είναι τέλειος κύβος.
Φιλικά,

Αχιλλέας

Είναι,

, με

θετικό ακέραιο, αφού

$k^3=2p^2-3p-1=p(2p-3)-1\geq p-1 >0$

Είναι, p(2p-3)=2p^2-3p=k^3+1=(k+1)(k^2-k+1)

άρα $p \mid (k+1)$ ή $p \mid (k^2-k+1)$ . Διακρίνουμε, λοιπόν, δύο περιπτώσεις:

Περίπτωση 1: $p \mid (k+1)$ . Τότε, αν $k+1=p\ell$ , με $\ell \in \mathbb{N^*}$ , είναι $2p-3=(k^2-k+1)\ell$ , άρα αφού $k=p\ell-1 \geq p-1$ , έχουμε

$2p-3=(k^2-k+1)\ell \geq k^2-k+1 \geq (p-1)^2-(p-1)+1=p^2-3p+3,$

άρα $p^2-5p+6 \leq 0$ , που δίνει ότι $p \in \{2, 3 \}$ . Εύκολα επαληθεύουμε ότι και οι δύο τιμές είναι δεκτές.

Περίπτωση 2: $p \mid (k^2-k+1)$ . Τότε, αν $k^2-k+1=p\ell$ , είναι και $2p-3=(k+1)\ell$ . Ας υποθέσουμε ότι $p \geq 5$ . Είναι,

$p\ell=k^2-k+1 \equiv (-1)^2-(-1)+1 \equiv 3 \pmod {k+1},$

άρα $k+1 \mid (p\ell-3)$ και αφού $2p-3=(k+1)\ell$ , είναι και $k+1 \mid (2p-3)$ . Άρα,

$0 \equiv 2(p\ell-3) \equiv 3\ell-6 \equiv 3(\ell-2) \pmod {k+1},$

και αφού $\gcd(k+1,3)=1$ (πράγματι, αν $\gcd(k+1,3)>1$ , τότε $3 \mid (k+1)$ , οπότε $3 \mid (k+1) \mid (2p-3)$ , άρα p=3

, άτοπο), προκύπτει ότι

$\ell \equiv 2 \pmod {k+1},$

άρα ή $\ell=2$ , που δίνει ότι $2p-3=(k+1)\ell=2(k+1),$ άτοπο $\pmod 2$ , ή $\ell -2>0$ , οπότε $\ell=(k+1)m+2$ με

θετικό ακέραιο. Αν υποθέσουμε ότι $m \geq 2$ , τότε

$2(k^2-k+1)-3 \geq 2p-3=(k+1)\ell =(k+1)((k+1)m+2) \geq$

$\geq 2(k+1)(k+2)=2k^2+6k+2>2(k^2-k+1)-3,$

οπότε έχουμε άτοπο.

Άρα, πρέπει m=1

, συνεπώς $\ell=k+3$ , δηλαδή έχουμε ότι

$k^2-k+1=p\ell=p(k+3)$ και

$2p-3=(k+1)\ell=(k+1)(k+3)$

Λύνοντας τώρα το σύστημα των p,k

προκύπτει ότι $p=\dfrac{3}{2}$ και k=-1

, άτοπο.

Τελικά, λύσεις τα p=2

και

.

#3

Το είδαμε και εδώ
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 58&t=57662

Ανδρέας Πούλος · #4

Υπάρχει και εδώ.

https://math.stackexchange.com/question ... rfect-cube

#5

Σαφώς δυσκολότερη είναι η γενικότερη εκδοχή της, χωρίς τη συνθήκη ο $\displaystyle{p}$ να είναι πρώτος.

Να βρεθούν οι ακέραιοι $\displaystyle{x}$ , ώστε ο $\displaystyle{2x^2-3x-1}$ να είναι τέλειος κύβος.

Υποθέτω δεν μπορούμε να αποφύγουμε τη χρήση αλγεβρικής θεωρίας αριθμών.

Τέλειος κύβος

Τέλειος κύβος

Re: Τέλειος κύβος

Re: Τέλειος κύβος

Re: Τέλειος κύβος

Re: Τέλειος κύβος

Μέλη σε σύνδεση