Διοφαντική

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #1

Έστω οι ακέραιοι a, b, c

τέτοιοι ώστε να ισχύει η ισότητα

$\displaystyle{5a^2 + 3^b = 7^c}$

Να δειχθεί ότι a = b = c = 0

Ορέστης Λιγνός · #2

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 23, 2023 1:38 pm
Έστω οι ακέραιοι τέτοιοι ώστε να ισχύει η ισότητα

$\displaystyle{5a^2 + 3^b = 7^c}$

Να δειχθεί ότι

Προφανώς μπορούμε να υποθέσουμε ότι $a,b,c \geq 0$ . Αν ήταν $b \geq 1$ , τότε

$-a^2 \equiv 5a^2 \equiv 5a^2+3^b=7^c \equiv 1 \pmod 3,$

άτοπο. Άρα, b=0

. Συνεπώς, η δοσμένη εξίσωση γράφεται 5a^2=7^c-1

, από όπου με $\pmod 5$ προκύπτει ότι c=4k

με $k \geq 0$ . Αν k=0

, τότε προφανώς a=b=c=0

. Ας υποθέσουμε ότι k>0

. Είναι,

$5a^2=(7^k-1)(7^k+1)(7^{2k}+1)$ .

Τώρα, παρατηρούμε ότι και οι 3 παράγοντες είναι άρτιοι, $4 \nmid 7^{2k}+1$ και είτε $4 \nmid 7^k-1$ είτε $4 \nmid 7^k+1$ . Επιπλέον ο μέγιστος κοινός διαιρέτης κάθε δύο από τους παράγοντες είναι ίσος με

. Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις.

Περίπτωση 1: $4 \nmid 7^k-1$ , οπότε έστω $7^k-1=2x, 7^k+1=4y,7^{2k}+1=2z$ , και άρα προκύπτει ότι 5a^2=16xyz

. Έστω

, συνεπώς

με $\gcd(x,y)=\gcd(y,z)=\gcd(z,x)=1$ . Άρα, προκύπτει ότι ακριβώς δύο από τους x,y,z

είναι τέλεια τετράγωνα. Παρατηρούμε ότι

$2x+1=7^k \equiv 0 \pmod 7,$

άρα $x \equiv 3 \pmod 7$ και όμοια $y \equiv 2 \pmod 7$ και $z \equiv 4 \pmod 7$ . Αφού τα 2,3

δεν είναι τετραγωνικά υπόλοιπα $\pmod 7$ , είναι αδύνατον οι x,y

να είναι τέλεια τετράγωνα, συνεπώς προκύπτει άμεσα άτοπο.

Περίπτωση 2: $4 \nmid 7^k+1$ , οπότε έστω $7^k-1=4x,7^k-1=2y,7^{2k}+1=2z,$ και άρα προκύπτει ότι 5a^2=16xyz

. Έστω ξανά a=4d

, συνεπώς

με $\gcd(x,y)=\gcd(y,z)=\gcd(z,x)=1$ . Άρα, προκύπτει ότι ακριβώς δύο από τους x,y,z

είναι τέλεια τετράγωνα. Παρατηρούμε ότι

$4x+1=7^k \equiv 0 \pmod 7,$

άρα $x \equiv 5 \pmod 7$ και όμοια $y \equiv 3 \pmod 7$ και $z \equiv 4 \pmod 7$ . Αφού τα 5,3

δεν είναι τετραγωνικά υπόλοιπα $\pmod 7$ , είναι αδύνατον οι x,y

να είναι τέλεια τετράγωνα, συνεπώς προκύπτει πάλι άτοπο.

Σε κάθε περίπτωση λοιπόν έχουμε άτοπο, και άρα αναγκαστικά a=b=c=0

.

Batapan · #3

Γράφω τη λύση μου μετά από υπόδειξη του Πρόδρομου, τον οποίο και ευχαριστώ

όπως στην παραπάνω λύση, υποθέτουμε οτι $a,b,c \geq 0$ , με mod

καταλήγουμε ότι b=0

και με

έχουμε

Έτσι η αρχική μπορεί να γραφεί ως $\displaystyle{(7^{2c'})^2-5a^2=1}$
Θεωρούμε την εξισωση Pell x^2-5y^2=1

με θεμελιώδη λύση την (x_1,y_1)=(9,4)

(και αμέσως επόμενη την (x_2,y_2)=(161,72))

Θέλουμε να βρούμε τις λύσεις x_n

οι οποίες είναι δυνάμεις του

Είναι γνωστό ότι θα ισχύει $x_{n+2}=18x_{n+1}-x_n$ για κάθε $n \geq 1$

Κοιτώντας αυτή την ακολουθία mod7

είναι

και μετα επαναλαμβάνεται .

Άρα θα πρέπει n = 4k+2

ώστε

Κοιτώντας τη mod3

είναι

επόμενως για όλα τα $n \equiv 2$ mod

, $x_n \equiv 2$ mod

που σημαίνει οτι x_n

δεν μπορεί να είναι δύναμη του

( $7^k \equiv 1$ mod

για κάθε

)

Επομένως a=c=0

είναι η μοναδική περίπτωση

Διοφαντική

Διοφαντική

Re: Διοφαντική

Re: Διοφαντική

Μέλη σε σύνδεση