Έυρεση πρώτων!

ΑΝΔΡΕΑΣ ΛΑΜΠΡΟΥ · #1

Βρείτε όλους τους πρώτους $\displaystyle{p,q}$ ώστε ο αριθμός $\displaystyle{\frac{\left( 5^{p}-2^{p} \right )\left (5^{q}-2^{q} \right )}{pq}}$ να είναι ακέραιος.

#2

Υποθέτουμε ότι $p \leqslant q$ .

Επειδή p|(5^p-2^p)(5^q-2^q)

τότε

ή

.

Στην πρώτη περίπτωση, επειδή $5^p - 2^p \equiv 5-2 \equiv 3 \bmod p$ , πρέπει p=3

. Στην δεύτερη περίπτωση, γράφουμε t = (p+1)/2

(προφανώς $p \neq 2$ ) και παρατηρούμε ότι $(5d)^q \equiv 1 \bmod p$ . Έστω $r = \mathrm{ord}_p(5d)$ . Τότε r|(p-1)

και

. Τότε

ή

με το δεύτερο να απορρίπτεται αφού τότε θα είχαμε q|(p-1)

. Όμως υποθέσαμε ότι $q \geqslant p$ . Άρα $5d \equiv 1 \bmod p$ , δηλαδή $5(p+1) \equiv 2 \bmod p$ που δίνει $5 \equiv 2 \bmod p$ και άρα p=3

.

Σε κάθε περίπτωση καταλήξαμε στο p=3

. Τότε έχουμε q|39(5^q-2^q)

. Άρα

ή

. Η πρώτη περίπτωση δίνει q=3

ή

και η δεύτερη δίνει q=3

.

Άρα τα μόνα ζεύγη που ικανοποιούν είναι τα (3,3),(3,13),(13,3)

.

Έυρεση πρώτων!

Έυρεση πρώτων!

Re: Έυρεση πρώτων!

Μέλη σε σύνδεση