Ακολουθία

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #1

Θεωρούμε ακολουθία $(a_n)_{n\in \mathbb{N}$ θετικών ακεραίων τέτοια ώστε ο $a_{n+1}$ να είναι ο μικρότερος θετικός ακέραιος

τέτοιος ώστε s(m)>s(a_i)

για

για κάθε $n\in \mathbb{N}$ . Να δειχθεί ότι υπάρχουν μόνο πεπερασμένοι σε πλήθος όροι της ακολουθίας (a_n)

οι οποίοι γράφονται στην μορφή a^b

για κάποιους θετικούς ακεραίους a,b

με $b\geq 2$ .

Σημείωση: Με συμβολίζουμε το άθροισμα των ψηφίων του στην δεκαδική του αναπαράσταση

stamas1 · #2

Αν ισχύει $s (a_{n+1}) >s (a_i)$ για κάθε $i \leq n$ αυτό είναι ισοδύναμο με το $s (a_{n+1}) >s (a_n)$ για κάθε n. Ορίζω a_n

την ακολουθία που έχει την ιδιότητα ο $a_{n+1}$ είναι ο μικρότερος θετικός αριθμός που ικαονοποιει την σχέση $s (a_{n+1}) >s (a_n)$ και a_1=1

.

Ισχυρισμός: Ισχύει ότι $s (a_{n+1}) =s (a_n) +1$
Απόδειξη: Αν $s (a_{n+1}) -s (a_n) =t \geq2$ και $a_{n+1}=\overline{b_n.... b_0}$ ο μικρότερος αριθμός το ικανοποιεί τότε αν κάποιο από τα ψηφία b_0,..., b_n-1

δεν είναι μηδέν τότε αν αφαιρέσουμε

από αυτό το ψηφίο θα βρούμε ένα αριθμό μικρότερο από το $a_{n+1}$ και θα έχουμε $s (a_{n+1}) =s (a_n) +t-1$ . Αν όλα τα ψηφία b_0,..., b_n-1

ειναι

και

τότε αν αφαιρέσουμε το

το

θα πάρουμε ένα αριθμό μικρότερο από το $a_{n+1}$ και θα έχουμε και πάλι $s (a_{n+1}) =s (a_n) +t-1$ . Τέλος αν όλα τα ψηφία είναι μηδέν και το πρώτο ψηφίο είναι

τότε $s (a_{n+1}) =1>s (a_n)$ αδύνατο. Άρα σε κάθε περίπτωσή δεν γίνεται $s (a_{n+1}) -s (a_n) \geq 2$ .

Ισχυρισμός: s (a_n) =n

Απόδειξη: Για n=1

ισχύει αν ισχύει για κάποιο

τότε $s (a_{k+1}) =s (a_k) +1=k+1$ άρα ισχύει και για k+1

.

Ισχυρισμός: Κάθε όρος της ακολουθίας a_n

είναι της μορφής $\overline{r\underbrace{99\ldots9}_{m}}$ .
Απόδειξη: Iσχύει ότι s (a_n) =9m+r

οπού m φυσικός και

παίρνει τιμές από

έως

. Τότε επειδή $s (a_{n+1}) =s (a_n) +1$ θα έχουμε $s (a_{n+1}) =9m+r+1$ . Ο μικρότερος αριθμός που έχει άθροισμα ψηφίων 9m+r+1

είναι ο αριθμός $\overline{(r+1) \underbrace{99\ldots9}_{m}}$ ή $\overline{1 \underbrace{99\ldots9}_{m+1}}$ ( αν r=9

),αλλιώς αν υπήρχε μικρότερος αριθμός

θα έπρεπε να ισχύει $s(b) \leq 9 (m-1) +r+1+8=9m+r=s(a_n)< s(a_{n+1})$ αδύνατο.

Ισχυρισμός: Αν b_n

ειναι ακολουθία με ακριβώς τις ίδιες ιδιότητες της a_n

αλλά

τότε $b_n=a_{s (b_1) +n-1}$ για $n\geq 2$
Απόδειξη: για $s (b_1) =s (a_{s (b_1)})$ άρα $a_{s (b_1) +1}=b_2$ επαγωγικά $b_n=a_{s (b_1) +n-1}$

Άρα από τον πρώτο όρο και μετά κάθε ακολουθία b_n

με αρχική τιμή μεγαλύτερη από το

θα έχει ως τιμές ορούς της ακολουθίας a_n

. Άρα αρκεί να δείξουμε ότι η ακολουθία a_n

έχει πεπερασμένους ορούς που γράφονται στην μορφή a^b

για $a, b\geq 2$ . Αφού $a_n=\overline{r\underbrace{99\ldots9}_{m}}$ αρκεί να δείξουμε ότι η εξίσωση $a^b=r* 10^m+9* 10^ {m-1} +... +9$ έχει πεπερασμένες στο πλήθος τετράδες λύσεων (a, b, m, r)

.
Έστω $m\geq 2$ τότε $a^b=r* 10^m +9* \frac{10^m-1}{10-1}= (r+1)* 10^m-1$ . Τότε το a πρέπει να είναι περιττός αφού το δεξί μέλος είναι περιττός αριθμός. Παίρνοντας mod10

παίρνουμε $a^b+1\equiv 0 mod10$ άρα παίρνουμε ότι a^b

είναι της μορφής $3^{4c+2}$ ή $7^{4c+2}$ . Παίρνοντας mod100

έχουμε $a^b+1\equiv 0$ . Αν $a^b=3^{4c+2}$ τότε $3^{4c+2}\equiv (3^4) ^c* 9\equiv 81^c\equiv -1mod100$ αδύνατο ομοίως και για το $a^b=7^{4c+2}$ . Άρα η εξίσωση αδύνατη για $m\geq 2$
Αν m=1

τότε βρίσκουμε εύκολα ότι η μοναδική λύση είναι (7, 2, 1, 4)

Αν

τότε εύκολα βρίσκουμε ότι η μοναδική λύση είναι (3, 2, 1, 0)

άρα οι μοναδικοί οροί της ακολουθίας a_n

που γράφονται ως a^b

με $a, b\geq 2$ είναι ο a_9=9

και $a_{13}=49$ .

Ακολουθία

Ακολουθία

Re: Ακολουθία

Μέλη σε σύνδεση