Τέλειο τετράγωνο

Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2

petros r

Τέλειο τετράγωνο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από petros r » Πέμ Ιούλ 25, 2013 8:59 pm

Υπάρχουν τέσσερις διαφορετικοί ακέραιοι έτσι ώστε το άθροισμα κάθε δύο από αυτούς να είναι τέλειο τετράγωνο;


Άβαταρ μέλους
emouroukos
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1378
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: Τέλειο τετράγωνο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από emouroukos » Τρί Ιούλ 30, 2013 7:15 pm

Να το "απλουστεύσω" λίγο: ;)

Να αποδείξετε ότι υπάρχουν τέσσερις διαφορετικοί ακέραιοι τέτοιοι, ώστε:
\bullet το άθροισμά τους να είναι τέλειο τετράγωνο και
\bullet το άθροισμα κάθε δύο από αυτούς να είναι τέλειο τετράγωνο.


Βαγγέλης Μουρούκος

Erro ergo sum.
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5778
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Τέλειο τετράγωνο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τετ Μάιος 17, 2017 9:24 pm

Επαναφορά!


Θανάσης Κοντογεώργης
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7852
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Τέλειο τετράγωνο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Μάιος 18, 2017 2:47 pm

Αρκεί να βρω έναν θετικό ακέραιο N ο οποίος να γράφεται με τρεις διαφορετικούς τρόπους ως άθροισμα άρτιων τετραγώνων:

Αν π.χ. N = x^2+y^2 = u^2+v^2 = r^2+s^2 με x,y,u,v,r,s άρτιους, τότε μπορώ να πάρω

\displaystyle{a = (x^2+u^2-s^2)/2, b = (x^2+s^2-u^2)/2, c = (y^2 + u^2 - r^2)/2, d = (y^2+r^2-u^2)/2}

και είναι απλό να ελεγχθεί ότι όλα τα ανά δύο αθροίσματα των a,b,c,d είναι τέλεια τετράγωνα. Πιο συγκεκριμένα ισχύει ότι

a+b=x^2,a+c=u^2,a+d=r^2,b+c=s^2,b+d=v^2,c+d=y^2.

Είναι γνωστό όμως ότι για κάθε k υπάρχουν αριθμοί που γράφονται ως άθροισμα τετραγώνων με τουλάχιστον k διαφορετικούς τρόπους. Πολλαπλασιάζοντας με το 4 μπορώ να έχω και όλα τα τετράγωνα άρτια.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης