Διαιρετότητα

#1

Έστω πρώτος αριθμός

. Να βρεθεί το πλήθος των θετικών ακεραίων

ώστε ο

να είναι πολλαπλάσιο του p+n

.

harrisp · #2

Kαλησπέρα!

Μια προσπάθεια . . .

Εχουμε $p+n|pn\Rightarrow pn=ap+an$

Αυτή γίνεται:

$p\left( n-a\right) =an\Rightarrow n-a=\dfrac {an} {p}$ και αφού το p>a

παίρνουμε

Αντικαθιστούμε (n=bp) και παίρνουμε:

$ap\left( b+1\right) =p^{2}b\Rightarrow ab+a=bp$ .

Παίρνουμε mod b και έχουμε $a\equiv 0modb\Rightarrow b|a$ . Αντικαθιστούμε (a=bc) και παίρνουμε:

$c\left( b+1\right) =p\Rightarrow c=1$ . Αρα b+1=p συνεπώς $\boxed{n=\left( p-1\right) p}$ .

#3

Χάρη, γιατί από τη σχέση $na\equiv 0\pmod p$ έπεται ότι $p\mid n$ ;

Μία άλλη προσέγγιση.

Γράφουμε $\displaystyle\frac{pn}{p+n}=\frac{p(n+p)-p^2}{p+n}=p-\frac{p^2}{p+n}$ .

Έπεται ότι $p+n\mid p^2$ άρα p+n=1

είτε

. Προφανώς δεκτή είναι μόνο η τελευταία, οπότε n=p^2-p

.

#4

Ισχύει το

στην προσπάθεια του Χάρη αλλά δεν έπεται από το $an \equiv 0 \bmod p$ .

Από την pn = ap + an

παίρνουμε

. Άρα

και αφού ο

είναι πρώτος τότε p|n

ή

. Το δεύτερο δεν μπορεί να ισχύει οπότε όντως p|n

.

harrisp · #5

Ναι σωστά. Έχετε δίκιο.

Δείτε τα κόκκινα γράμματα πιο πάνω. Ελπίζω τώρα να είμαι σωστός . . .

Διαιρετότητα

Διαιρετότητα

Re: Διαιρετότητα

Re: Διαιρετότητα

Re: Διαιρετότητα

Re: Διαιρετότητα

Μέλη σε σύνδεση