Δύσκολη Εκθετική

Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2

harrisp
Δημοσιεύσεις: 543
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Δύσκολη Εκθετική

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από harrisp » Σάβ Δεκ 24, 2016 4:25 pm

Να λύσετε στους θετ. ακεραίους την εξίσωση:

x^yy^x=(x+y)^z



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 800
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Δύσκολη Εκθετική

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Σάβ Δεκ 24, 2016 7:57 pm

Μια προσπάθεια...

Χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε πως x\geq y.

Έχουμε ότι (x+y)^z=x^y\cdot y^x\leq x^{x+y}<(x+y)^{x+y}, άρα z<x+y

Ακόμα x^y\cdot y^x\equiv 0 \mod y, ενώ (x+y)^z\equiv x^z \mod y, συνεπώς διακρίνουμε 2 περιπτώσεις.

1) x=mk και y=ml, όπου m, k και l θετικοί ακέραιοι, αλλά (k,l)=1

Έχουμε: (mk)^{ml}\cdot (ml)^{mk}=m^{m(k+l)}(l^{mk}\cdot k^{ml})=m^z(l+k)^z \Leftrightarrow m^{m(k+l)-z}(l^{mk}\cdot k^{ml})=(l+k)^z

Όμως z<x+y=mk+ml, άρα m^{m(k+l)-z}\geq 1 και (l^{mk}\cdot k^{ml})|(l+k)^z, που είναι άτοπο, καθώς (l,k)=1

2) y|x, δηλαδή x=ay, με a θετικό ακέραιο.

Αντικαθιστώντας και μετά από λίγες πράξεις παίρνουμε ότι: y^{y+ay-z}\cdot a^y=(a+1)^z.

Επειδή z<x+y=ay+y, ισχύει ότι y^{y+ay-z}\geq 1, άρα a^y|(a+1)^z, το οποίο όμως ισχύει μόνο αν a=1, καθώς (a, a+1)=1. Συνεπώς x=y.

Αντικαθιστώντας στην αρχική εξίσωση, προκύπτει ότι x^{2x}=(2x)^z\Leftrightarrow x^{2x-z}=2^z. Συνεπώς x=2^l θετικός ακέραιος.

Έχουμε: 2^{l(2^{l+1}-z)}=2^z\Rightarrow l(2^{l+1}-z)=z\Rightarrow z(l+1)=l\cdot 2^{l+1}, επομένως z=nl, όπου n θετικός ακέραιος, άρα έχουμε πως n(l+1)=2^{l+1}. Συνεπώς n=2^k και l+1=2^m, όπου k και m θετικοί ακέραιοι.

Έχουμε: 2^{k+m}=2^{2^m}\Rightarrow k+m=2^m\Rightarrow k=2^m-m.

Δηλαδή z=2^{2^m-m}\cdot l=2^{2^m-m}\cdot (2^m-1)=2^{2^m}-2^{2^m-m}

Συνοψίζοντας λύσεις είναι (x, y, z)=(2^{2^m-1}, 2^{2^m-1}, 2^{2^m}-2^{2^m-m}), όπου m θετικός ακέραιος

edit: Έκανα μια διόρθωση, ελπίζω να είναι σωστή...
τελευταία επεξεργασία από Διονύσιος Αδαμόπουλος σε Κυρ Δεκ 25, 2016 12:42 pm, έχει επεξεργασθεί 4 φορές συνολικά.


Houston, we have a problem!
Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 589
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Δύσκολη Εκθετική

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Σάβ Δεκ 24, 2016 8:07 pm

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:Μια προσπάθεια...

....

Ακόμα x^y\cdot y^x\equiv 0 \mod y, ενώ (x+y)^z\equiv x^z \mod y, συνεπώς y|x, δηλαδή x=ay, με a θετικό ακέραιο.
Μπορεί να κάνω λάθος αλλά το ότι ισχύει y|x^z δεν συνεπάγεται απαραίτητα y|x. π.χ y=4,x=6,z>1
τελευταία επεξεργασία από JimNt. σε Σάβ Δεκ 24, 2016 9:03 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


It's the questions we can't answer that teach us the most. They teach us how to think. If you give a man an answer, all he gains is a little fact. But give him a question and he'll look for his own answers.

If you are not sure it is magic then it probably is.
harrisp
Δημοσιεύσεις: 543
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Δύσκολη Εκθετική

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από harrisp » Σάβ Δεκ 24, 2016 8:57 pm

Να σημειώσω οτι το παραπάνω ισχύει αν ο y ειναι πρωτος.


Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 800
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Δύσκολη Εκθετική

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Κυρ Δεκ 25, 2016 12:41 pm

JimNt. έγραψε:
Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:Μια προσπάθεια...

....

Ακόμα x^y\cdot y^x\equiv 0 \mod y, ενώ (x+y)^z\equiv x^z \mod y, συνεπώς y|x, δηλαδή x=ay, με a θετικό ακέραιο.
Μπορεί να κάνω λάθος αλλά το ότι ισχύει y|x^z δεν συνεπάγεται απαραίτητα y|x. π.χ y=4,x=6,z>1
Χρόνια πολλά και Καλά Χριστούγεννα σε όλα τα μέλη του :santalogo: !

Έκανα μια προσπάθεια να την σώσω, ελπίζω να είναι σωστή...


Houston, we have a problem!
harrisp
Δημοσιεύσεις: 543
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Δύσκολη Εκθετική

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από harrisp » Κυρ Δεκ 25, 2016 4:12 pm

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:
JimNt. έγραψε:
Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:Μια προσπάθεια...

....

Ακόμα x^y\cdot y^x\equiv 0 \mod y, ενώ (x+y)^z\equiv x^z \mod y, συνεπώς y|x, δηλαδή x=ay, με a θετικό ακέραιο.
Μπορεί να κάνω λάθος αλλά το ότι ισχύει y|x^z δεν συνεπάγεται απαραίτητα y|x. π.χ y=4,x=6,z>1
Χρόνια πολλά και Καλά Χριστούγεννα σε όλα τα μέλη του :santalogo: !

Έκανα μια προσπάθεια να την σώσω, ελπίζω να είναι σωστή...
Διονύση καλές Γιορτές :santalogo: :mathexmastree: . Η λυση ειναι ολοσωστη αν δεν μου εχει ξεφύγει κατι. Η βασική ιδέα στην λυση μου (φαίνεται και στην δικη σου) ειναι να θεωρήσουμε d τον ΜΚΔ( x,y)


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης