Διοφαντική με παραγοντικό

Γιάννης Μπόρμπας · #1

Να βρεθούν όλοι οι πρώτοι αριθμοί

και οι θετικοί ακέραιοι

που ικανοποιούν την εξίσωση:
p^4+p^3+p^2+p=n!

(Χωρίς επαγωγή).

JimNt. · #2

Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:Να βρεθούν όλοι οι πρώτοι αριθμοί και οι θετικοί ακέραιοι που ικανοποιούν την εξίσωση:
(Χωρίς επαγωγή).

Βάζω λύση με επαγωγή. Πρέπει p|n!

και επειδή

πρώτος προκύπτει $n! \ge p!$ . Πρέπει λοιπόν $p^4+p^3+p^2+p\ge p!$ (1)

. Επαγωγικά δείχνουμε πως για $p\ge7$ η (1)

δεν ισχύει. Ελέχγοντας τώρα τις περιπτώσεις παίρνουμε ως μόνη λύση (n,p)=(5,3)

.

#3

JimNt. έγραψε: Πρέπει λοιπόν $p^4+p^3+p^2+p\ge p!$ . Επαγωγικά δείχνουμε πως για $p\ge7$ η δεν ισχύει.

Το βήμα αυτό μπορούμε και χωρίς επαγωγή, οπότε το θέμα κλείνει.

Αφού η για p=7

μπορούμε να κάνουμε απευθείας έλεγχο, μπορούμε να υποθέσουμε $p\ge 9$ (το ότι είναι πρώτος μας δίνει ακόμα καλύτερα $p\ge 11$ αλλά δεν θα το χρησιμοποιήσω).

Για $p\ge 9$ ισχύει $p\le \frac {3}{2}(p-3)$ . Άρα

$p^4+p^3+p^2+p < 4p^4 = 4 \cdot p \cdot p\cdot p\cdot p \le 4 \cdot p \cdot \frac {3}{2}(p-1)\cdot \frac {3}{2}(p-2)\cdot \frac {3}{2}(p-3)$

$= \frac {27}{2}p(p-1)(p-2)(p-3) \le p(p-1)(p-2)(p-3)\cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 < p!$

manousos · #4

Η εξίσωση γράφεται :

$\displaystyle{p^3 + p^2 + p + 1 = (p-1)!(p+1)\cdots (p+n)}$

$\displaystyle{n\geq 3 \Rightarrow (p+1)(p+2)(p+3)= p^3 + 6p^2 + 11p + 6 \mid p^3 + p^2 + p + 1}$ ΑΤΟΠΟ

Άρα από $\displaystyle{Wilson}$ έχουμε τις περιπτώσεις :

$\displaystyle{1 \equiv -2 (mod\; p)\: or\: 1\equiv -1 (mod\: p)\: \Rightarrow p =2\: or\: p=3}$

Δεκτή μόνο η $\displaystyle{p=3}$

Διοφαντική με παραγοντικό

Διοφαντική με παραγοντικό

Re: Διοφαντική με παραγοντικό

Re: Διοφαντική με παραγοντικό

Re: Διοφαντική με παραγοντικό

Μέλη σε σύνδεση