Αριθμοί στην περιφέρεια κύκλου

Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7852
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Αριθμοί στην περιφέρεια κύκλου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Ιουν 28, 2017 4:40 pm

Στην περιφέρεια ενός κύκλου είναι τοποθετημένοι 2017 θετικοί ακέραιοι. Η διαφορά μεταξύ κάθε δύο διαδοχικών αριθμών ισούται με τον μέγιστο κοινό διαιρέτη τους. Να βρεθεί το μέγιστο N ώστε ο N να διαιρεί το γινόμενο των 2017 αριθμών ανεξάρτητα από το ποιοι είναι αυτοί οι αριθμοί



Λέξεις Κλειδιά:
Antonis_Z
Δημοσιεύσεις: 523
Εγγραφή: Δευ Σεπ 05, 2011 12:07 am

Re: Αριθμοί στην περιφέρεια κύκλου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Antonis_Z » Κυρ Ιούλ 02, 2017 3:50 am

Καλημέρα.

Θα εξετάσουμε το γενικότερο πρόβλημα για n=2k+1 σημεία στην περιφέρεια του κύκλου.
Παρατηρούμε ότι δε γίνεται δύο διαδοχικοί αριθμοί(της περιφέρειας) να είναι και οι δύο περιττοί ή και οι δύο να αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο διαιρούμενοι με το 3.
α)Βάζουμε τους αριθμούς (2,3,2,3,...,2,3,4) (μ'αυτή τη σειρά) στην περιφέρεια του κύκλου.Το γινόμενό τους είναι 2^{k+2}\cdot 3^k\implies N|2^{k+2}\cdot 3^k.
β)Βάζουμε τους αριθμούς (4,5,4,5,...,4,5,6) (μ'αυτή τη σειρά) στην περιφέρεια του κύκλου.Το γινόμενό τους είναι 2^{2k+1}\cdot 3\cdot 5^k\implies N|2^{2k+1}\cdot 3\cdot 5^k.
Άρα N|2^{k+2}\cdot 3.
Ισχυρίζομαι ότι το N=2^{k+2}\cdot 3 διαιρεί πάντα το γινόμενο των αριθμών στην περιφέρεια του κύκλου,οπότε θα είναι και το ζητούμενο (λόγω της προηγούμενης).
Απόδειξη:
Δείχνω αρχικά ότι κάποιος αριθμός στην περιφέρεια διαιρείται με το 3.Αν όχι,τότε τα πιθανά υπόλοιπα είναι 1,2 (mod 3).Από την αρχική παρατήρηση αυτά πρέπει να εμφανίζονται εναλλάξ.Όμως,επειδή το πλήθος των αριθμών είναι περιττό,αυτό είναι αδύνατο,συνεπώς κάποιος διαιρείται με το 3.
Πάλι από την αρχική παρατήρηση,έπεται ότι τουλάχιστον k+1 αριθμοί θα πρέπει να είναι άρτιοι(αλλιώς θα εμφανίζονταν διαδοχικοί περιττοί).Επιπλέον,θα υπάρχουν δύο διαδοχικοί που θα είναι και οι δύο άρτιοι(αφού είναι τουλάχιστον k+1 το πλήθος),άρα κάποιος απ αυτούς τους δύο θα διαιρείται με το 4(διαφορετικά η διαφορά τους θα διαιρούνταν με το 4 ενώ οι αριθμοί όχι).Μετρώντας,τώρα,τα δυάρια βρίσκουμε τουλάχιστον k+2,άρα το γινόμενο είναι διαιρετό με 2^{k+2}\cdot 3.


Αντώνης Ζητρίδης
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7852
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Αριθμοί στην περιφέρεια κύκλου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Κυρ Ιούλ 02, 2017 10:28 am

Antonis_Z έγραψε: δε γίνεται δύο διαδοχικοί αριθμοί(της περιφέρειας) να είναι και οι δύο περιττοί ή και οι δύο να αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο διαιρούμενοι με το 3.
Εδώ υπάρχει ένα λαθάκι. Δεν μπορούν δυο μη πολλαπλάσια του 3 να αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο διαιρούμενοι με το 3. Αργότερα βέβαια το χρησιμοποιείς σωστά.

Ένα άλλο παράδειγμα που δείχνει πως το 2^{k+2} \cdot 3 πιάνεται είναι η διάταξη 2,1,\ldots,2,1,2,3,4. Το γινόμενο εδώ είναι ακριβώς 2^{k+2} \cdot 3.

Την άσκηση την πήρα από Τουρνουά των Πόλεων του 2015.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης