Putnam 2014/B1

#1

Ένα υπερ-ανάπτυγμα στην βάση

ενός θετικού ακεραίου

είναι μια παράσταση του

στην μορφή

$\displaystyle{ N = d_k 10^k + d_{k-1}10^{k-1} + \cdots + d_0 10^0}$

με $d_i \in \{0,1,2,\ldots,10\}$ για κάθε

, και $d_k \neq 0$ . Π.χ. ο N=10

έχει δύο υπερ-αναπτύγματα στην βάση 10. Το $10=10 \cdot 10^0$ καθώς και το συνήθες ανάπτυγμά του $10 = 1 \cdot 10^1 + 0 \cdot 10^0$ στην βάση

.

Ποιοι θετικοί ακέραιοι έχουν μοναδικό υπερ-ανάπτυγμα στην βάση

;

harrisp · #2

Demetres έγραψε:Ένα υπερ-ανάπτυγμα στην βάση ενός θετικού ακεραίου είναι μια παράσταση του στην μορφή

$\displaystyle{ N = d_k 10^k + d_{k-1}10^{k-1} + \cdots + d_0 10^0}$

με $d_i \in \{0,1,2,\ldots,10\}$ για κάθε , και $d_k \neq 0$ . Π.χ. ο έχει δύο υπερ-αναπτύγματα στην βάση 10. Το $10=10 \cdot 10^0$ καθώς και το συνήθες ανάπτυγμά του $10 = 1 \cdot 10^1 + 0 \cdot 10^0$ στην βάση .

Ποιοι θετικοί ακέραιοι έχουν μοναδικό υπερ-ανάπτυγμα στην βάση ;

Καλησπέρα!

Απάντηση: Κάθε αριθμός που δεν περιέχει το 0 στο κανονικό του ανάπτυγμα (με βάση το 10)

Λήμμα 1: Αν ένας αριθμός N δεν περιέχει το 0 στο κανονικό του ανάπτυγμα τότε έχει επίσης μοναδικό υπερ-ανάπτυγμα.

Απόδειξη: Έστω N=10^na_n+..+10^0a_0

και

ένα υπερ-ανάπτυγμά του. Τότε αν d_0=0

θα πρέπει η μονάδα a_0

να γραφτεί με δυνάμεις του 10 (εκτός από την 10^0

που εξουδετερώθηκε), άτοπο. Άρα $d_0\differ 0$ .

Έστω τώρα a_0=d_0+t

τότε αφού

οι συνετλεστές του 10^0

διαγράφονται οπότε μένει το t σε ένα από τα δύο μέλη και άρα πρέπει να είναι πολ. 10, άτοπο. Οπότε a_0=d_0

.

Συνεχίζοντας την ίδια διαδικασία λαμβάνουμε το ζητούμενο.

Λήμμα 2: Αν ένα αριθμός περιέχει έστω και ένα μηδενικό στο κανονικό του ανάπτυγμα έχει τουλάχιστον δύο υπερ-αναπτύγματα.

Απόδειξή: Έστω ότι το 0 βρίσκεται στην i-οστή δύναμη. Τότε ένα υπερανάπτυγμα είναι το ίδιο με το κανονικό του και ένα ακόμη προκύπτει εάν γράψουμε $k_i10^i=(k_i-1)10^i+10\cdot 10^{i-1}$

Αν συνδυαστούν λοιπόν τα δύο αυτά λήμματα η λύση ολοκληρώνεται.

Putnam 2014/B1

Putnam 2014/B1

Re: Putnam 2014/B1

Μέλη σε σύνδεση