Putnam 2014/B1
Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Putnam 2014/B1
Ένα υπερ-ανάπτυγμα στην βάση ενός θετικού ακεραίου είναι μια παράσταση του στην μορφή
με για κάθε , και . Π.χ. ο έχει δύο υπερ-αναπτύγματα στην βάση 10. Το καθώς και το συνήθες ανάπτυγμά του στην βάση .
Ποιοι θετικοί ακέραιοι έχουν μοναδικό υπερ-ανάπτυγμα στην βάση ;
με για κάθε , και . Π.χ. ο έχει δύο υπερ-αναπτύγματα στην βάση 10. Το καθώς και το συνήθες ανάπτυγμά του στην βάση .
Ποιοι θετικοί ακέραιοι έχουν μοναδικό υπερ-ανάπτυγμα στην βάση ;
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Putnam 2014/B1
Καλησπέρα!Demetres έγραψε:Ένα υπερ-ανάπτυγμα στην βάση ενός θετικού ακεραίου είναι μια παράσταση του στην μορφή
με για κάθε , και . Π.χ. ο έχει δύο υπερ-αναπτύγματα στην βάση 10. Το καθώς και το συνήθες ανάπτυγμά του στην βάση .
Ποιοι θετικοί ακέραιοι έχουν μοναδικό υπερ-ανάπτυγμα στην βάση ;
Απάντηση: Κάθε αριθμός που δεν περιέχει το 0 στο κανονικό του ανάπτυγμα (με βάση το 10)
Λήμμα 1: Αν ένας αριθμός N δεν περιέχει το 0 στο κανονικό του ανάπτυγμα τότε έχει επίσης μοναδικό υπερ-ανάπτυγμα.
Απόδειξη: Έστω και ένα υπερ-ανάπτυγμά του. Τότε αν θα πρέπει η μονάδα να γραφτεί με δυνάμεις του 10 (εκτός από την που εξουδετερώθηκε), άτοπο. Άρα .
Έστω τώρα τότε αφού οι συνετλεστές του διαγράφονται οπότε μένει το t σε ένα από τα δύο μέλη και άρα πρέπει να είναι πολ. 10, άτοπο. Οπότε .
Συνεχίζοντας την ίδια διαδικασία λαμβάνουμε το ζητούμενο.
Λήμμα 2: Αν ένα αριθμός περιέχει έστω και ένα μηδενικό στο κανονικό του ανάπτυγμα έχει τουλάχιστον δύο υπερ-αναπτύγματα.
Απόδειξή: Έστω ότι το 0 βρίσκεται στην i-οστή δύναμη. Τότε ένα υπερανάπτυγμα είναι το ίδιο με το κανονικό του και ένα ακόμη προκύπτει εάν γράψουμε
Αν συνδυαστούν λοιπόν τα δύο αυτά λήμματα η λύση ολοκληρώνεται.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες