Putnam 2014/B1

Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7826
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Putnam 2014/B1

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Ιούλ 28, 2017 12:53 pm

Ένα υπερ-ανάπτυγμα στην βάση 10 ενός θετικού ακεραίου N είναι μια παράσταση του N στην μορφή

\displaystyle{ N = d_k 10^k + d_{k-1}10^{k-1} + \cdots + d_0 10^0}

με d_i \in \{0,1,2,\ldots,10\} για κάθε i, και d_k \neq 0. Π.χ. ο N=10 έχει δύο υπερ-αναπτύγματα στην βάση 10. Το 10=10 \cdot 10^0 καθώς και το συνήθες ανάπτυγμά του 10 = 1 \cdot 10^1 + 0 \cdot 10^0 στην βάση 10.

Ποιοι θετικοί ακέραιοι έχουν μοναδικό υπερ-ανάπτυγμα στην βάση 10;



Λέξεις Κλειδιά:
ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ
Δημοσιεύσεις: 503
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Putnam 2014/B1

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ » Τρί Αύγ 22, 2017 9:29 pm

Demetres έγραψε:Ένα υπερ-ανάπτυγμα στην βάση 10 ενός θετικού ακεραίου N είναι μια παράσταση του N στην μορφή

\displaystyle{ N = d_k 10^k + d_{k-1}10^{k-1} + \cdots + d_0 10^0}

με d_i \in \{0,1,2,\ldots,10\} για κάθε i, και d_k \neq 0. Π.χ. ο N=10 έχει δύο υπερ-αναπτύγματα στην βάση 10. Το 10=10 \cdot 10^0 καθώς και το συνήθες ανάπτυγμά του 10 = 1 \cdot 10^1 + 0 \cdot 10^0 στην βάση 10.

Ποιοι θετικοί ακέραιοι έχουν μοναδικό υπερ-ανάπτυγμα στην βάση 10;
Καλησπέρα!

Απάντηση: Κάθε αριθμός που δεν περιέχει το 0 στο κανονικό του ανάπτυγμα (με βάση το 10)

Λήμμα 1: Αν ένας αριθμός N δεν περιέχει το 0 στο κανονικό του ανάπτυγμα τότε έχει επίσης μοναδικό υπερ-ανάπτυγμα.

Απόδειξη: Έστω N=10^na_n+..+10^0a_0 και N=10^kd_k+...+10^0d_0 ένα υπερ-ανάπτυγμά του. Τότε αν d_0=0 θα πρέπει η μονάδα a_0 να γραφτεί με δυνάμεις του 10 (εκτός από την 10^0 που εξουδετερώθηκε), άτοπο. Άρα d_0\differ 0.

Έστω τώρα a_0=d_0+t τότε αφού N=10^na_n+..+10^0a_0=10^kd_k+...+10^0d_0 οι συνετλεστές του 10^0 διαγράφονται οπότε μένει το t σε ένα από τα δύο μέλη και άρα πρέπει να είναι πολ. 10, άτοπο. Οπότε a_0=d_0.

Συνεχίζοντας την ίδια διαδικασία λαμβάνουμε το ζητούμενο.

Λήμμα 2: Αν ένα αριθμός περιέχει έστω και ένα μηδενικό στο κανονικό του ανάπτυγμα έχει τουλάχιστον δύο υπερ-αναπτύγματα.

Απόδειξή: Έστω ότι το 0 βρίσκεται στην i-οστή δύναμη. Τότε ένα υπερανάπτυγμα είναι το ίδιο με το κανονικό του και ένα ακόμη προκύπτει εάν γράψουμε k_i10^i=(k_i-1)10^i+10\cdot 10^{i-1}

Αν συνδυαστούν λοιπόν τα δύο αυτά λήμματα η λύση ολοκληρώνεται.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης