Putnam 2013/A2

Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7887
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Putnam 2013/A2

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Αύγ 18, 2017 10:44 am

Έστω S το σύνολο όλων των θετικών ακεραίων οι οποίοι δεν είναι τέλεια τετράγωνα. Για n \in S θεωρούμε όλες τις πιθανές επιλογές ακεραίων a_1,\ldots,a_r ώστε

\displaystyle{ n < a_1 < \cdots < a_r } και το \displaystyle{n a_1 \cdots a_r} είναι τέλειο τετράγωνο.

Ορίζουμε το f(n) να είναι η ελάχιστη δυνατή τιμή του a_r που εμφανίζεται σε αυτές τις επιλογές.

Π.χ. f(2) = 6 αφού το 2 \cdot 3 \cdot 6 είναι τέλειο τετράγωνο, ενώ τα 2 \cdot 3, 2 \cdot 3, 2 \cdot 5, 2\cdot 3 \cdot 4, 2\cdot 3\cdot5,2\cdot 4\cdot 5,2 \cdot 3\cdot 4\cdot 5 δεν είναι τέλεια τετράγωνα.

Να δειχθεί ότι η f:S \to \mathbb{N} είναι ένα προς ένα.



Λέξεις Κλειδιά:
ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ
Δημοσιεύσεις: 507
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Putnam 2013/A2

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ » Παρ Αύγ 18, 2017 6:15 pm

Καλησπέρα!

Θεωρούμε δύο γινόμενα (της μορφής που περιγράφει η εκφώνηση) με ισο τον τελευταίο όρο (που είναι ο ελάχιστος ώστε να ειναι το γινόμενο τέλειο τετράγωνο).
Έστω A,B τα δυο γινόμενα με m>n τους πρώτους όρους τους. Τότε το AB είναι τέλειο τετράγωνο. Στα δύο αυτά γινόμενα εκτός από τους τελευταίους όρους θα υπάρχουν και άλλοι ίσοι όροι. Συνεπώς γράφουμε AB=k^2l όπου k^2 το τελειο τετράγωνο που σχηματίζουν οι ίσοι όροι. Το l πρέπει να ειναι τέλειο τετράγωνο άρα σχηματίστηκε άλλο ένα γινόμενο αυτήν την φορά με μικρότερο τελευταιο όρο (και πρώτο όρο τον n αφού στο B δεν υπαρχει και στο A υπάρχουν όροι μεγαλύτεροι απο το m δηλ. μεγαλύτεροι του n), άτοπο σύμφωνα με την υπόθεση.

Εύκολα πια έπεται το ζητούμενο.


Edit: Δείτε κάτω το σχόλιο του κ. Δημήτρη.
τελευταία επεξεργασία από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ σε Σάβ Αύγ 19, 2017 10:45 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7887
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Putnam 2013/A2

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Αύγ 19, 2017 10:29 am

Σωστά. Χρειάζεται όμως μια επιπλέον λεπτομέρεια. Ότι ο μικρότερος από τους πρώτους όρους παραμένει στο γινόμενο.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης