Πρώτοι διαιρούν!

Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 729
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Πρώτοι διαιρούν!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Τρί Φεβ 20, 2018 10:36 pm

Μπορεί να την έχουμε ξαναδεί:

Να βρεθούν όλα τα ζευγάρια πρώτων p, q έτσι ώστε pq|5^p+5^q.


Houston, we have a problem!

Λέξεις Κλειδιά:
min##
Δημοσιεύσεις: 109
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Πρώτοι διαιρούν!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Τετ Φεβ 21, 2018 8:25 pm

Είναι για p,q\neq 5 5^{p-1}+5^{q-1}\equiv 0 modpq,δηλαδή, από FLT-Euler:\blacksquare 5^{q-1}\equiv -1modp,
5^{p-1}\equiv -1modq και 5^{(p-1)(q-1)}\equiv 1 modpq.

Αν -1\equiv 1 modp,p=2 και η αρχική γίνεται
5^{q}+25\equiv 0modq,από όπου, με FLT,παίρνουμε την (p,q)=(2,3).

Διαφορετικά,από \blacksquare
τα ord_{p}(5),ord_{q}(5) διαιρούν τα 2(q-1),2(p-1),χωρίς να διαιρούν τα q-1,p-1(αντίστοιχα).Όμως, ord_{p}(5)*ord_{q}(5)=ord_{pq}(5),και επειδή 5^{(p-1)(q-1)}\equiv 1 modpq,δηλαδή ord_{pq}(5)/(p-1)(q-1),έπεται ότι ord_{p}(5)*ord_{q}(5)/(p-1)(q-1),το οποίο είναι άτοπο σύμφωνα με τα παραπάνω, γιατί το αριστερό μέλος έχει περισσότερα 2άρια από το δεξί.Άρα δεν έχουμε λύσεις.

Αν p=5, 5^5+5^{q}\equiv 0\equiv 5^4+1 mod5q για q σχετικά πρώτο με το 5, ενώ αν q=5,δεκτό.Από το τελευταίο έπονται οι λύσεις (p,q)=(5,313),(5,2).Συνεπώς, συνολικά έχουμε τις (p,q)=(2,3),(5,5),(5,2),(5,313) και τις ανάποδες...


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης