Διαιρετότητα για θετικούς ακεραίους

Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2

panagiotis iliopoulos
Δημοσιεύσεις: 24
Εγγραφή: Τετ Μαρ 07, 2018 10:26 pm

Διαιρετότητα για θετικούς ακεραίους

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από panagiotis iliopoulos » Τετ Μαρ 21, 2018 5:44 pm

Να βρεθούν οι θετικοί ακέραιοι m,n για τους οποίους ο αριθμός \frac{n^{3}+1}{mn-1} είναι ακέραιος.



Λέξεις Κλειδιά:
silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1177
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: Άσκηση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Τετ Μαρ 21, 2018 6:04 pm

Παναγιώτη καλησπέρα. Καλό θα είναι να βάζεις τις ασκήσεις στο φάκελο που ανήκουν (πχ, Αρχιμήδης Senior για την συγκεκριμένη) και όχι στο φάκελο "Γενικά Μηνύματα". Επίσης καλό θα ήταν να γίνεται μια καλύτερη επιλογή στον τίτλο και τις λέξεις κλειδιά ώστε να είναι εύκολη η αναζήτηση στο μέλλον.


Σιλουανός Μπραζιτίκος
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7796
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Άσκηση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Μαρ 21, 2018 7:51 pm

Έκανα την μετακίνηση.


Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 680
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Διαιρετότητα για θετικούς ακεραίους

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Τετ Μαρ 21, 2018 10:10 pm

Θα είναι και ο αριθμός \dfrac{n^3+1}{mn-1}+1 ακέραιος, δηλαδή ο \dfrac{n(n^2+m)}{mn-1}. Είναι (n, mn-1)=1, επομένως πρέπει και ο αριθμός \dfrac{n^2+m}{mn-1} να είναι ακέραιος.

Έστω \dfrac{n^2+m}{mn-1}=k.

Τότε n^2-kmn+k+m=0 (1) και ισχύει ότι k, m, n είναι θετικοί ακέραιοι. Η διακρίνουσα είναι D=k^2m^2-4(k+m) και πρέπει να είναι τέλειο τετράγωνο.

Έστω k\leq m.

Αν k=1 τότε D=m^2-4(m+1)=m^2-4m-4=(m-2)^2-8, άρα αφού το D πρέπει να είναι τέλειο τετράγωνο παίρνουμε (m-2)^2-l^2=8\Leftrightarrow (m-2-l)(m-2+l)=8 και αφού οι αριθμοί m-2-l και m-2+l είναι ισοϋπόλοιποι με το 2 ισχύει ότι m-2-l=2 και m-2+l=4, δηλαδή m=5.

Αν k=2 τότε D=4m^2-4(m+2)=4m^2-4m-8=(2m-1)^2-9, άρα αφού το D πρέπει να είναι τέλειο τετράγωνο παίρνουμε (2m-1)^2-l^2=9\Leftrightarrow (2m-1-l)(2m-1+l)=9 άρα 2m-1-l=1 και 2m-1+l=9, όπου m=3, ή 2m-1-l=3 και 2m-1+l=3, δηλαδή m=2.

Αν τώρα k, m\geq 3 έχουμε πως (km-2)^2<D\Leftrightarrow 4(k+m)+4<4km\Leftrightarrow k+m+1<km\Leftrightarrow (k-1)(m-1)>2 που ισχύει.

Όμως ταυτόχρονα είναι D<(km)^2, επομένως πρέπει D=(km-1)^2\Leftrightarrow 4(k+m)+1=2km, άτοπο αφού το αριστερό μέλος είναι περιττό ενώ το δεξί άρτιο.

Άρα για να έχει η (1) ακέραιες λύσεις ως προς n πρέπει (k, m)=(1, 5), (5, 1), (2, 3), (3, 2), (2, 2).

Αντικαθιστώντας στην (1) και διακρίνοντας τις περιπτώσεις παίρνουμε τα αντίστοιχα ζευγάρια (n, m)=(2, 5), (3, 5), (2, 1), (3, 1), (1, 3), (5, 3), (1, 2), (5, 2), (2, 2).

Edit: Προσθήκη μιας τετριμμένης περίπτωσης :roll:
τελευταία επεξεργασία από Διονύσιος Αδαμόπουλος σε Τετ Μαρ 21, 2018 11:16 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Houston, we have a problem!
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1277
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Διαιρετότητα για θετικούς ακεραίους

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Τετ Μαρ 21, 2018 11:08 pm

Ο δολοφόνος επιστρέφει πάντα στον τόπο του εγκλήματος ! εδώ

Γεια σου Διονύση!


Ο καθένας λέει ότι να΄ναι και είναι πάντα σύμφωνος με τον εαυτό του ! 'Ολοι μιλάνε και κανείς δεν ακούει! Ο κόσμος είναι σε νοητική αδράνεια ! Ελένη Γλυκατζή Αρβελέρ
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 680
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Διαιρετότητα για θετικούς ακεραίους

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Τετ Μαρ 21, 2018 11:18 pm

Ορέστης Λιγνός έγραψε:
Τετ Μαρ 21, 2018 11:08 pm
Ο δολοφόνος επιστρέφει πάντα στον τόπο του εγκλήματος ! εδώ

Γεια σου Διονύση!
Γεια σου Ορέστη!

Ούτε που τη θυμόμουνα. Ευτυχώς η νέα λύση είναι λίγο διαφορετική από την προηγούμενη!!


Houston, we have a problem!
achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2547
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Διαιρετότητα για θετικούς ακεραίους

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Τρί Μαρ 27, 2018 9:09 pm

panagiotis iliopoulos έγραψε:
Τετ Μαρ 21, 2018 5:44 pm
Να βρεθούν οι θετικοί ακέραιοι m,n για τους οποίους ο αριθμός \frac{n^{3}+1}{mn-1} είναι ακέραιος.
Πρόκειται για το Πρόβλημα 4 της Δ.Μ.Ο του 1994.

Φιλικά,

Αχιλλέας


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης