Διαιρετότητα

Number · #1

ΑΝ $a,b\in N$ και $9|a^{2}+ab+b^{2}$ . Να δείξετε ότι 3|a

και

.

#2

Number έγραψε: Τρί Απρ 24, 2018 8:06 pm ΑΝ $a,b\in N$ και $9|a^{2}+ab+b^{2}$ . Να δείξετε ότι και .

Καλώς ήλθες στο φόρουμ.

Ελπίζω η παραπάνω να μην είναι άσκηση από μαθήματα που παρακολουθείς.

Επειδή η άσκηση υπήρχε (ίδια ή πολλή παρόμοια) στο Σχολικό βιβλίο και είναι αρκετά γνωστή, θα
δώσω μόνο υπόδειξη:

Εξέτασε χωριστά όλους τους συνδυασμούς όπου τα a,b

αφήνουν υπόλοιπο 0,1,2

όταν
διαιρεθούν με το

. Χρησιμοποιώντας συμμετρίες μπορείς να γλυτώσεις αρκετό κόπο,
χωρίς να εξετάσεις $3\times 3=9$ περιπτώσεις.

#3

Έχουμε $9\mid (a-b)^2+3ab$ (1), άρα $3\mid (a-b)^2$ οπότε $3\mid a-b$ (2) συνεπώς $9\mid (a-b)^2$ , και λόγω της (1) θα έχουμε $9\mid 3ab$ οπότε $3\mid a$ ή $3\mid b$ και από την (2) αν διαιρεί τον έναν, διαιρεί και τον άλλο.

Διαιρετότητα

Διαιρετότητα

Re: Διαιρετότητα

Re: Διαιρετότητα

Μέλη σε σύνδεση