Οι ρητοί είναι ακέραιοι

Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2

dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1386
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Οι ρητοί είναι ακέραιοι

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Τετ Απρ 25, 2018 10:25 am

Έστω θετικοί x, y \in \mathbb{Q} τέτοιοι ώστε x \neq y και ο x^n - y^n είναι ακέραιος για άπειρο πλήθος τιμών του n \in \mathbb{N}. Αποδείξτε ότι οι x, y είναι ακέραιοι.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.

Λέξεις Κλειδιά:
ksofsa
Δημοσιεύσεις: 139
Εγγραφή: Κυρ Απρ 18, 2010 9:42 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Οι ρητοί είναι ακέραιοι

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ksofsa » Πέμ Ιούλ 05, 2018 11:16 pm

Εστω x=\frac{a}{b},y=\frac{c}{d}, a,b,c,d\epsilon Z, (a,b)=1,(c,d)=1.

Τότε \frac{a^n}{b^n}-\frac{c^n}{d^n} \epsilon Z.

1)b>d.Τότε

d^n(\frac{a^n}{b^n}-\frac{c^n}{d^n})\epsilon Z\Rightarrow (\frac{d^na^n}{b^n}-c^n)\epsilon Z\Rightarrow b^n/a^nd^n\Rightarrow b^n/d^n

άτοπο, διότι b>d.

2)b<d.Τότε

b^n(\frac{a^n}{b^n}-\frac{c^n}{d^n})\epsilon Z\Rightarrow d^n/b^n, άτοπο.

Αρα, b=d.

Aρα, x^n-y^n=\frac{a^n-c^n}{b^n}.

Εστω p ένας πρώτος διαιρέτης του b.

Τότε, p^n/a^n-c^n, για άπειρα n.

Εστω n_{1},n_{2},n_{3},... η άπειρη ακολουθία των n.

Επιλέγω k\epsilon N,m\epsilon N, n_{m}>2n_{k},p^{n_{k}}>x^{n_{1}}-y^{n_{1}}

Mε βάση το lifting the exponent lemma είναι

\upsilon _{p}(x^{n_{1}n_{2}...n_{m}}-y^{n_{1}n_{2}...n_{m}})=\upsilon _{p}(x^{n_{1}n_{2}...n_{m-1}}-y^{n_{1}n_{2}...n_{m-1}})+\upsilon _{p}(n_{m})=...=\upsilon _{p}(x^{n_{1}}-y^{n_{1}})+\upsilon  _{p}(n_{2})+\upsilon _{p}(n_{3})+...\upsilon _{p}(n_{m})

και \upsilon _{p}(x^{n_{1}n_{2}._{}..n_{m}}-y^{n_{1}n_{2}...n_{m}})=\upsilon _{p}(n_{1})+...+\upsilon _{p}(n_{m-1})+\upsilon _{p}(x^{n_{m}}-y^{n_{m}}).

Αρα, \upsilon _{p}(x^{n_{1}}-y^{n_{1}})+\upsilon _{p}(n_{m})=\upsilon _{p}(x^{n_{m}}-y^{n_{m}})+\upsilon _{p}(n_{1}).

Ομως, \upsilon _{p}(x^{n_{m}}-y^{n_{m}})+\upsilon _{p}(n_{1})\geq n_{m}+\upsilon _{p}(n_{1})\geq n_{m}.

και \upsilon _{p}(x^{n_{1}}-y^{n_{1}})+\upsilon _{p}(n_{m})\leq n_{k}+\upsilon _{p}(n_{m})\leq \frac{n_{m}}{2}+\upsilon _{p}(n_{m}).

Αρα, n_{m}\leq \upsilon _{p}(n_{m})+\frac{n_{m}}{2}\Rightarrow n_{m}\leq 2\upsilon _{p}(n_{m}), άτοπο.

Αρα το b δεν έχει πρώτο διαιρετη p και ισουται με τη μονάδα.Aρα

x=a\epsilon Z,y=c\epsilon Z, ό.έ.δ.


Κώστας Σφακιανάκης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης