Διαιρετότητα
Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: Διαιρετότητα
Υποθέτουμε ότι υπάρχουν ακέραιοι ώστε .
Αν είναι και η προηγούμενη σχέση γράφεται διαδοχικά
Εύκολα βλέπουμε ότι ισχύει για κάθε .
Άρα η μόνη περίπτωση να είναι μια παράσταση της μορφής είναι να είναι ένας τουλάχιστον .
Τότε όμως αυτό αντικρούει την
Αν είναι και η προηγούμενη σχέση γράφεται διαδοχικά
Εύκολα βλέπουμε ότι ισχύει για κάθε .
Άρα η μόνη περίπτωση να είναι μια παράσταση της μορφής είναι να είναι ένας τουλάχιστον .
Τότε όμως αυτό αντικρούει την
Μάγκος Θάνος
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Διαιρετότητα
Λίγο διαφορετικά.
Οπως παραπάνω στην απόδειξη του Θάνου αρκεί να δείξουμε ότι η
δεν έχει λύσεις.
Στο γράφεται
(1)
Προφανώς
οπότε η (1) είναι ένα τριώνυμο ως προς στο σώμα .
Για να έχει λύση πρέπει η διακρίνουσα
να είναι τέλειο τετράγωνο.
Τα τέλεια τετράγωνα είναι εκτός του τα .
Η τιμή της διακρίνουσας είναι για τις μη μηδενικές τιμές του .
Αφου η διακρίνουσα δεν είναι τέλειο τετράγωνο στο
δεν υπάρχει λύση
Οπως παραπάνω στην απόδειξη του Θάνου αρκεί να δείξουμε ότι η
δεν έχει λύσεις.
Στο γράφεται
(1)
Προφανώς
οπότε η (1) είναι ένα τριώνυμο ως προς στο σώμα .
Για να έχει λύση πρέπει η διακρίνουσα
να είναι τέλειο τετράγωνο.
Τα τέλεια τετράγωνα είναι εκτός του τα .
Η τιμή της διακρίνουσας είναι για τις μη μηδενικές τιμές του .
Αφου η διακρίνουσα δεν είναι τέλειο τετράγωνο στο
δεν υπάρχει λύση
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Διαιρετότητα
Σχετίζεται άμεσα με το πρόβλημα 3 της JBMO του 2016. Δείτε το π.χ. εδώ. (Ήταν κατασκευή του Σιλουανού.)
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Διαιρετότητα
H άσκηση μπορεί να λυθεί χωρίς καθόλου φαντασία αλλά με τίμημα τις πολλές περιπτώσεις, οι οποίες όμως με
τετριμμένα τεχνάσματα δεν είναι τόσο πολλές όσο δείχνουν. Συγκεκριμένα, θέτοντας οπότε
έχουμε να λύσουμε την . Εργαζόμενοι μπορούμε να εξετάσουμε τα
υπόλοιπα δια σαρώνοντας όλες τις περιπτώσεις των . Λόγω συμμετρίας είναι, χωρίς βλάβη,
δηλαδή έχουμε τις περιπτώσεις .
Μπορούμε αμέσως αμέσως να διώξουμε όλα τα που εμφανίζονται είτε ως είτε ως είτε ως . Έτσι
φεύγουν τα αλλά και τα . Μένουν
περιπτώσεις, Μου πήρε ούτε δύο λεπτά για την σάρωση. Δείγμα
1) Για δίνει (απορρίπτεται),
2) Για δίνει (απορρίπτεται),
3) Για δίνει (απορρίπτεται),
...
18) Για δίνει (απορρίπτεται).
Ως δώρο βγήκε ότι ούτε η έχει λύση.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες