Σύστημα!

Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1620
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Σύστημα!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Σάβ Νοέμ 23, 2019 3:11 pm

Μία άσκηση που έφτιαξα :

Θεωρούμε το σύστημα των εξισώσεων :

\begin{Bmatrix} 
a+b+c=M & \\  
 4(ab+bc+ca)=M^2&   
\end{Bmatrix}

Να δείξετε, ότι για κάθε M \in \{2024,2025,2026, \ldots, 2039,2040 \}, το σύστημα δεν έχει θετικές ακέραιες λύσεις (a,b,c), τέτοιες ώστε ο Μ.Κ.Δ. των a,b,c να είναι ίσος με 1.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8449
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Σύστημα!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Κυρ Νοέμ 24, 2019 12:46 pm

Όμορφη!

Χωρίς βλάβη της γενικότητας το σύστημα έχει λύση με a \leqslant b \leqslant c

Έχουμε (a+b+c)^2 = M^2 = 4(ab+bc+ca) το οποίο δίνει a^2 + b^2 + c^2 = 2(ab+bc+ca) ή ισοδύναμα (a+b-c)^2 = 4ab. Άρα το ab είναι τέλειο τετράγωνο και ομοίως τα bc και ca είναι τέλεια τετράγωνα. Αν το a δεν είναι τέλειο τετράγωνο, τότε υπάρχει πρώτος p ώστε v_p(a) περιττός. Αφού όμως τα ab,ac είναι τέλεια τετράγωνα θα είναι και v_p(b) και v_p(c) περιττοί. Τότε όμως ο p διαιρεί τον Μέγιστο Κοινό Διαιρέτη των a,b,c, άτοπο.

Άρα τα a,b,c είναι τέλεια τετράγωνα. Έστω a = r^2,b=s^2,c=t^2 με 0 < r \leqslant s \leqslant t. Τότε είναι r^2 + s^2 - t^2 = \pm 2rs. Άρα t^2 = (r \pm s)^2 και επειδή 0 < r \leqslant s \leqslant t έχουμε t = r+s.

Από την a+b+c=M παίρνουμε 2(r^2 + s^2 + rs) = M. Αν τα r,s είναι άρτιοι, τότε και οι a,b,c είναι άρτιοι, άτοπο. Σε αντίθετη περίπτωση αναγκαστικά θα είναι r^2 + s^2 + rs περιττός, άρα και M \equiv 2 \bmod 4. Οπότε r^2 + s^2 + rs = N για κάποιο N \in \{1013,1015,1017,1019\}.

Παρατηρούμε ότι υπάρχει πρώτος p ώστε p|N και p \equiv 2 \bmod 3. (Αν n=1015 παίρνουμε p = 5. Αν N = 1017 παίρνουμε p = 1017/9 = 113. Αν N = 1013 ή N = 1019 τότε N \equiv 2 \bmod 3 και δεν μπορεί όλοι οι πρώτοι διαιρέτες του να είναι της μορφής 1 \bmod 3. )

Έχουμε r^2 + s^2 + rs \equiv 0 \bmod p άρα και (2r+s)^2 + 3s^2 \equiv 0 \bmod p. Αν p|s τότε p|(2r+s) άρα και p|r από όπου παίρνουμε p|a,b,c, άτοπο. Συμπεραίνουμε ότι p \nmid s άρα το -3 είναι τετραγωνικό κατάλοιπο \bmod p. Όμως

\displaystyle  \left( \frac{-3}{p}\right) = \left( \frac{-1}{p}\right)\left( \frac{3}{p}\right) = \left( \frac{p}{3}\right) = -1

άτοπο.


Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1620
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Σύστημα!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Κυρ Νοέμ 24, 2019 1:39 pm

:notworthy: :clap2: :10sta10: Όπως ακριβώς την είχα σκεφτεί!


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Απάντηση

Επιστροφή σε “Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες