Ακολουθία με ακέραιους όρους!

#1

Δίνεται η ακολουθία $\displaystyle{(x_n)_{n\geq 0}}$ με $\displaystyle{x_0=0}$ και $\displaystyle{x_{n+1}=2x_n +1+\sqrt{3x_n ^2+6x_n+k}}$ , $\displaystyle{k\in \mathbb{R}}$ .

Να βρεθούν όλες οι τιμές του $\displaystyle{k}$ ώστε όλοι οι όροι της ακολουθίας να είναι ακέραιοι.

min## · #2

Καλησπέρα.Τα μόνα δυνατά είναι τα τετράγωνα ακεραιων:
Γράφουμε τη δοσμένη ως $x_{n+1}-2x_{n}-1=\sqrt{3x_{n}^2+6x_{n}+k}$ και υψώνουμε στο τετράγωνο.
Προκύπτει η $x_{n+1}^2+x_{n}^2-4x_{n+1}x_{n}-2x_{n+1}-2x_{n}-k=0$ .
Θέτοντας $n\rightarrow n+1$ και αφαιρώντας τις δύο σχέσεις προκύπτει πως $(2)(x_{n+2}-x_{n})(4x_{n+1}-x_{n}-x_{n+2}-2)=0, \forall n \in\mathbb{N}$ .Είναι απλό να δούμε ότι η $x_{n}$ είναι αύξουσα οπότε εστιάζουμε στη δεύτερη παρένθεση.Επειδή πρέπει και $x_{1}$ ακέραιος,συμπεραίνουμε πως το

πρέπει να είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου(βλ. αρχική).
Αν αντίστροφα το

είναι τέλειο τετράγωνο,το $x_{1}$ θα είναι ακέραιος,οπότε από τη (2)

όλοι οι όροι θα είναι ακέραιοι κτλ.

Ακολουθία με ακέραιους όρους!

Ακολουθία με ακέραιους όρους!

Re: Ακολουθία με ακέραιους όρους!

Μέλη σε σύνδεση