Ακολουθία με ακέραιους όρους!
Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Ακολουθία με ακέραιους όρους!
Δίνεται η ακολουθία με και , .
Να βρεθούν όλες οι τιμές του ώστε όλοι οι όροι της ακολουθίας να είναι ακέραιοι.
Να βρεθούν όλες οι τιμές του ώστε όλοι οι όροι της ακολουθίας να είναι ακέραιοι.
Μάγκος Θάνος
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Ακολουθία με ακέραιους όρους!
Καλησπέρα.Τα μόνα δυνατά είναι τα τετράγωνα ακεραιων:
Γράφουμε τη δοσμένη ως και υψώνουμε στο τετράγωνο.
Προκύπτει η .
Θέτοντας και αφαιρώντας τις δύο σχέσεις προκύπτει πως .Είναι απλό να δούμε ότι η είναι αύξουσα οπότε εστιάζουμε στη δεύτερη παρένθεση.Επειδή πρέπει και ακέραιος,συμπεραίνουμε πως το πρέπει να είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου(βλ. αρχική).
Αν αντίστροφα το είναι τέλειο τετράγωνο,το θα είναι ακέραιος,οπότε από τη όλοι οι όροι θα είναι ακέραιοι κτλ.
Γράφουμε τη δοσμένη ως και υψώνουμε στο τετράγωνο.
Προκύπτει η .
Θέτοντας και αφαιρώντας τις δύο σχέσεις προκύπτει πως .Είναι απλό να δούμε ότι η είναι αύξουσα οπότε εστιάζουμε στη δεύτερη παρένθεση.Επειδή πρέπει και ακέραιος,συμπεραίνουμε πως το πρέπει να είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου(βλ. αρχική).
Αν αντίστροφα το είναι τέλειο τετράγωνο,το θα είναι ακέραιος,οπότε από τη όλοι οι όροι θα είναι ακέραιοι κτλ.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες