Τέλειο τετράγωνο
Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2
Τέλειο τετράγωνο
Να βρεθουν οι φυσικοί αριθμοί για τούς οποίους ο είναι τέλειο τετράγωνο
(Δεν έχω λύση.Πιστευω πώς χρειάζεται αλγεβρική θεωρία αριθμών)
(Δεν έχω λύση.Πιστευω πώς χρειάζεται αλγεβρική θεωρία αριθμών)
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 15
- Εγγραφή: Τρί Ιουν 23, 2020 9:00 pm
Re: Τέλειο τετράγωνο
Καλησπέρα. Έστω . Απ' αυτή παίρνουμε πως: . Συνεπώς, πρέπει: . Μπορούμε, λοιπόν, να θέσουμε: . Αντικαθιστώντας στην αρχική, έχουμε: . Τώρα, διακρίνουμε περιπτώσεις.
1η περίπτωση: . Τότε, προκειμένου να ισχύει η , προκύπτει η τιμή , η οποία δίνει και τελικά . Συνεπώς, η πρώτη τιμή του είναι η , από την οποία προκύπτει το τέλειο τετράγωνο
2η περίπτωση: . Θα αποδείξουμε ότι δεν δύνανται να προκύψει τέλειο τετράγωνο, αν . Έστω προς άτοπο . Αντικαθιστώντας στην , παίρνουμε: . Θα αποδείξουμε πως ισχύει: . Αν δεν ισχύει, με παίρνουμε πως: . Σύμφωνα με τις σχέσεις που έχουμε θέσει, θα ισχύει: . Οπότε, αντιλαμβανόμαστε πως ισχύει; , ή . Τώρα, θα αντικαταστήσουμε την τιμή του στη σχέση: , παίρνουμε: , το οποίο θα αποδείξουμε πως δεν είναι τέλειο τετράγωνο. Έστω Αντικαθιστώντας στη σχέση που μόλις βρήκαμε, προκύπτει η διοφαντική εξίσωση: , όπου πρέπει να ισχύει: , που δίνει ρητό, πράγμα που απορρίπτεται. Η δεύτερη περίπτωση δίνει πάλι ρητό και, συνεπώς, απορρίπτεται επίσης (παρόμοια αποδεικνύεται πως δεν υπάρχουν ακέριες τιμές του για . Συμπερασματικά, ισχύει η ανισότητα . Για προκύπτει , άτοπο, αφού δεν είναι τέλειο τετράγωνο. Οπότε, όπως έχει προαναφερθεί, η μόνη αποδεκτή τιμή του είναι η , για την οποία προκύπτει η αποδεκτή τιμή , που είναι και η μόνη.
1η περίπτωση: . Τότε, προκειμένου να ισχύει η , προκύπτει η τιμή , η οποία δίνει και τελικά . Συνεπώς, η πρώτη τιμή του είναι η , από την οποία προκύπτει το τέλειο τετράγωνο
2η περίπτωση: . Θα αποδείξουμε ότι δεν δύνανται να προκύψει τέλειο τετράγωνο, αν . Έστω προς άτοπο . Αντικαθιστώντας στην , παίρνουμε: . Θα αποδείξουμε πως ισχύει: . Αν δεν ισχύει, με παίρνουμε πως: . Σύμφωνα με τις σχέσεις που έχουμε θέσει, θα ισχύει: . Οπότε, αντιλαμβανόμαστε πως ισχύει; , ή . Τώρα, θα αντικαταστήσουμε την τιμή του στη σχέση: , παίρνουμε: , το οποίο θα αποδείξουμε πως δεν είναι τέλειο τετράγωνο. Έστω Αντικαθιστώντας στη σχέση που μόλις βρήκαμε, προκύπτει η διοφαντική εξίσωση: , όπου πρέπει να ισχύει: , που δίνει ρητό, πράγμα που απορρίπτεται. Η δεύτερη περίπτωση δίνει πάλι ρητό και, συνεπώς, απορρίπτεται επίσης (παρόμοια αποδεικνύεται πως δεν υπάρχουν ακέριες τιμές του για . Συμπερασματικά, ισχύει η ανισότητα . Για προκύπτει , άτοπο, αφού δεν είναι τέλειο τετράγωνο. Οπότε, όπως έχει προαναφερθεί, η μόνη αποδεκτή τιμή του είναι η , για την οποία προκύπτει η αποδεκτή τιμή , που είναι και η μόνη.
τελευταία επεξεργασία από Philip.kal σε Τετ Ιαν 27, 2021 9:59 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
-
- Δημοσιεύσεις: 789
- Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm
Re: Τέλειο τετράγωνο
; Βέβαια διορθώνεται εύκολα...Philip.kal έγραψε: ↑Τετ Ιαν 27, 2021 2:01 pmΤώρα, θα αντικαταστήσουμε την τιμή του στη σχέση: , παίρνουμε: , το οποίο σίγουρα δεν είναι τέλειο τετράγωνο, αφού υπάρχουν δύο τετράγωνα φυσικών, όμως ένας από τους όρους δεν είναι τέλειο τετράγωνο, με αποτέλεσμα να μην συμπληρώνεται η πυθαγόρεια τριάδα (.
-
- Δημοσιεύσεις: 15
- Εγγραφή: Τρί Ιουν 23, 2020 9:00 pm
Re: Τέλειο τετράγωνο
Ευχαριστώ πολύ για την επισήμανση! Έκανα κάποιες διορθώσεις.Τσιαλας Νικολαος έγραψε: ↑Τετ Ιαν 27, 2021 2:09 pm; Βέβαια διορθώνεται εύκολα...Philip.kal έγραψε: ↑Τετ Ιαν 27, 2021 2:01 pmΤώρα, θα αντικαταστήσουμε την τιμή του στη σχέση: , παίρνουμε: , το οποίο σίγουρα δεν είναι τέλειο τετράγωνο, αφού υπάρχουν δύο τετράγωνα φυσικών, όμως ένας από τους όρους δεν είναι τέλειο τετράγωνο, με αποτέλεσμα να μην συμπληρώνεται η πυθαγόρεια τριάδα (.
Re: Τέλειο τετράγωνο
Όλοι η άσκηση είναι αυτό το παρόμοια που λες(εγώ δεν βλέπω ομοιότητα). Αλλα δεν το αποδεικνύεις.
Έχεις αποδείξει μόνο ότι δεν ισχύει για .Και υπάρχει πολύ ποίο εύκολη απόδειξη.
Απλά περνεις και έχεις αλλά το δεν είναι τετραγωνικό υπόλοιπο
Έχεις αποδείξει μόνο ότι δεν ισχύει για .Και υπάρχει πολύ ποίο εύκολη απόδειξη.
Απλά περνεις και έχεις αλλά το δεν είναι τετραγωνικό υπόλοιπο
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Τέλειο τετράγωνο
Βγαίνει με χρήση γενικευμένης Pell. Αρχικά παρατηρούμε από modulo 4 ότι ο είναι περιττός. Οπότε ψάχνουμε λύσεις της
με την επιπλέον συνθήκη ότι το πρέπει να είναι δύναμη του .
Η θεμελιώδης λύση της είναι η . Κάθε θεμελιώδης λύση της είναι της μορφής με . Πρέπει επίσης άρα χρειάζεται να ελέγξουμε μόνο την περίπτωση και παίρνουμε τις θεμελιώδεις λύσεις και .
Ξεκινάμε από την . Όπως και στην περίπτωση της Pell οι υπόλοιπες λύσεις δίνονται από τις αναδρομικές σχέσεις και . ( όπου το προκύπτει από τη θεμελιώδη λύση της .) Μας ενδιαφέρει η ακολουθία αλλά θέλουμε και το για να συνεχίσουμε. Αυτό δίνεται από τον τύπο .
Κοιτάζουμε τώρα την ακολουθία modulo 7. Είναι η και μετά επαναλαμβάνεται. Δηλαδή αν και μόνο αν . Βρίσκουμε επίσης ότι . Τώρα θα κοιτάξω την ακολουθία modulo . Θα βρω ότι είναι η και μετά επαναλαμβάνεται.
Παίρνω λοιπόν ότι . Άρα δεν υπάρχει ώστε το να είναι τέλεια δύναμη του εκτός ίσως αν , το οποίο δίνει τη λύση .
Τώρα πρέπει να κάνουμε την ίδια διαδικασία και για τη θεμελιώδη λύση . Ευτυχώς , μετά και συνεχίζει όπως την προηγούμενη ακολουθία. Άρα δεν προκύπτει οποιαδήποτε καινούργια λύση.
Καταλήγουμε λοιπόν ότι μόνο για είναι το τέλειο τετράγωνο.
με την επιπλέον συνθήκη ότι το πρέπει να είναι δύναμη του .
Η θεμελιώδης λύση της είναι η . Κάθε θεμελιώδης λύση της είναι της μορφής με . Πρέπει επίσης άρα χρειάζεται να ελέγξουμε μόνο την περίπτωση και παίρνουμε τις θεμελιώδεις λύσεις και .
Ξεκινάμε από την . Όπως και στην περίπτωση της Pell οι υπόλοιπες λύσεις δίνονται από τις αναδρομικές σχέσεις και . ( όπου το προκύπτει από τη θεμελιώδη λύση της .) Μας ενδιαφέρει η ακολουθία αλλά θέλουμε και το για να συνεχίσουμε. Αυτό δίνεται από τον τύπο .
Κοιτάζουμε τώρα την ακολουθία modulo 7. Είναι η και μετά επαναλαμβάνεται. Δηλαδή αν και μόνο αν . Βρίσκουμε επίσης ότι . Τώρα θα κοιτάξω την ακολουθία modulo . Θα βρω ότι είναι η και μετά επαναλαμβάνεται.
Παίρνω λοιπόν ότι . Άρα δεν υπάρχει ώστε το να είναι τέλεια δύναμη του εκτός ίσως αν , το οποίο δίνει τη λύση .
Τώρα πρέπει να κάνουμε την ίδια διαδικασία και για τη θεμελιώδη λύση . Ευτυχώς , μετά και συνεχίζει όπως την προηγούμενη ακολουθία. Άρα δεν προκύπτει οποιαδήποτε καινούργια λύση.
Καταλήγουμε λοιπόν ότι μόνο για είναι το τέλειο τετράγωνο.
Re: Τέλειο τετράγωνο
Ευχαριστώ πολύ για την όμορφη λύσης σας.
Πλέον μπορούμε να λύσουμε και την:
με φυσική και ακέραιος
Πλέον μπορούμε να λύσουμε και την:
με φυσική και ακέραιος
Re: Τέλειο τετράγωνο
Για περνοντας έχω . Τώρα κάνω αφαίρεση τετραγώνων και επειδή ο μέγιστος κοινός παράγοντας των παρενθέσεων είναι το έχω το σύστημα:
Οπότε μένω να λύσω την :
Εξετάζουμε με το χέρι της περίπτωσης
Και για θα πρέπει το να διαιρεί το που είναι αδύνατο.
Άρα για έχω τις λύσεις :
Για κάνω αφερεση τετράγωνον και επειδή ΜΚΠ των παρενθέσεων είναι το ένα έχω το σύστημα:
Που είναι προφανές αδύνατο
Άρα όλες η λύσεις είναι οι:
Οπότε μένω να λύσω την :
Εξετάζουμε με το χέρι της περίπτωσης
Και για θα πρέπει το να διαιρεί το που είναι αδύνατο.
Άρα για έχω τις λύσεις :
Για κάνω αφερεση τετράγωνον και επειδή ΜΚΠ των παρενθέσεων είναι το ένα έχω το σύστημα:
Που είναι προφανές αδύνατο
Άρα όλες η λύσεις είναι οι:
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες