Πρωταρχικές Πυθαγόρειες τριάδες

Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2

nickthegreek
Δημοσιεύσεις: 402
Εγγραφή: Δευ Μαρ 01, 2010 2:07 pm

Πρωταρχικές Πυθαγόρειες τριάδες

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nickthegreek » Πέμ Φεβ 04, 2021 10:27 pm

Έστω a,b,c μια πρωταρχική Πυθαγόρεια τριάδα (δηλαδή μια της οποίας οι όροι είναι σχετικά πρώτοι μεταξύ τους). Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν θετικοί ακέραιοι m,n με m>n ώστε \begin{Bmatrix} a,b,c \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} m^2-n^2, 2mn, m^2+n^2 \end{Bmatrix}.


Νίκος Αθανασίου

Λέξεις Κλειδιά:
2nisic
Δημοσιεύσεις: 149
Εγγραφή: Παρ Δεκ 04, 2020 12:06 pm

Re: Πρωταρχικές Πυθαγόρειες τριάδες

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από 2nisic » Παρ Φεβ 05, 2021 7:23 am

nickthegreek έγραψε:
Πέμ Φεβ 04, 2021 10:27 pm
Έστω a,b,c μια πρωταρχική Πυθαγόρεια τριάδα (δηλαδή μια της οποίας οι όροι είναι σχετικά πρώτοι μεταξύ τους). Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν θετικοί ακέραιοι m,n με m>n ώστε \begin{Bmatrix} a,b,c \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} m^2-n^2, 2mn, m^2+n^2 \end{Bmatrix}.
Με (m,n)=1


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13338
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Πρωταρχικές Πυθαγόρειες τριάδες

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Φεβ 05, 2021 7:45 am

2nisic έγραψε:
Παρ Φεβ 05, 2021 7:23 am
nickthegreek έγραψε:
Πέμ Φεβ 04, 2021 10:27 pm
Έστω a,b,c μια πρωταρχική Πυθαγόρεια τριάδα (δηλαδή μια της οποίας οι όροι είναι σχετικά πρώτοι μεταξύ τους). Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν θετικοί ακέραιοι m,n με m>n ώστε \begin{Bmatrix} a,b,c \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} m^2-n^2, 2mn, m^2+n^2 \end{Bmatrix}.
Με (m,n)=1
Σωστά, αλλά αυτό είναι προφανές αφού ο θεματοθέτης έχει θέσει ως συνθήκη ότι οι όροι της τριάδας είναι σχετικά πρώτοι.

Ας ασχοληθούν οι μαθητές μας που δεν γνωρίζουν ήδη την απάντηση. Η ίδια πάντως υπάρχει σε όλες τις Θεωρίες Αριθμών. Όταν κλείσει το θέμα θα δώσω παραπομπή στην παλαιότερη (εννοείται αρχαία Ελληνική) πηγή όπου υπάρχει πλήρης η απόδειξη. Περιέργως δεν είναι τόσο γνωστό το χωρίο παρ' όλο που είναι σε ιδιαίτερα πολυδιαβασμένο κείμενο.


2nisic
Δημοσιεύσεις: 149
Εγγραφή: Παρ Δεκ 04, 2020 12:06 pm

Re: Πρωταρχικές Πυθαγόρειες τριάδες

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από 2nisic » Τετ Απρ 21, 2021 8:24 pm

Προφανώς ένας από τους x,y, είναι άρτιος και οι άλλοι περιττοί.

(x+yi)(x-yi)=z^2

Έστω d=(x-yi,x+yi) τότε:
d|(x+yi)+(x-yi)=2x
d|[(x+yi)-(x-yi)](-i)=2y

Αν d|2 αδύνατο αφού z=odd.(διότι 2=-i(1+i)^2 και ο 1+i είναι πρώτος)

Αρα d|x και d|y οπότε: N(d)|x^2,y^2 αλλά (x,y,z) άρα d=units.

Οπότε υπάρχουν a,b τέτοιοι ώστεx+yi=(a+bi)^2 που δίνει x=a^2-b^2,y=2ab με αντικατάσταση έχουμε z=a^2+b^2



Υπάρχει και ποίο απλή λύση.
τελευταία επεξεργασία από 2nisic σε Πέμ Απρ 22, 2021 8:31 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13338
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Πρωταρχικές Πυθαγόρειες τριάδες

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Απρ 21, 2021 11:16 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Παρ Φεβ 05, 2021 7:45 am
Όταν κλείσει το θέμα θα δώσω παραπομπή στην παλαιότερη (εννοείται αρχαία Ελληνική) πηγή όπου υπάρχει πλήρης η απόδειξη. Περιέργως δεν είναι τόσο γνωστό το χωρίο παρ' όλο που είναι σε ιδιαίτερα πολυδιαβασμένο κείμενο.
Είναι στα Στοιχεία του Ευκελίδη, Βιβλίο Χ, Πρόταση 29.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8615
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Πρωταρχικές Πυθαγόρειες τριάδες

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Απρ 22, 2021 2:56 pm

Η πιο απλή λύση στην οποία αναφέρεται ο Διονύσης είναι ουσιαστικά αυτή που δίνει σε παρόμοιο πρόβλημα ο Αλέξανδρος εδώ.

Αν πούμε ότι ο Διονύσης το έλυσε χρησιμοποιώντας πύραυλο (Αλγεβρική Θεωρία Αριθμών) τότε στον πιο πάνω σύνδεσμο μπορείτε να δείτε και μια λύση με πυρηνικό οπλισμό. (Με Θεωρία Galois. Εντελώς ακατάλληλη για μαθητές.)


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης