Από Τουρκία
Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2
Από Τουρκία
Να βρεθούν όλοι οι φυσικοί με τέτοιοι ώστε:
Σχόλιο:Το περίεργο είναι ότι η άσκηση τέθηκε στην Τουρκία το 2003 και στην σε ποίο εύκολη μορφή () το 2006
Σχόλιο:Το περίεργο είναι ότι η άσκηση τέθηκε στην Τουρκία το 2003 και στην σε ποίο εύκολη μορφή () το 2006
Λέξεις Κλειδιά:
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Από Τουρκία
Για έχω τη λύση . Για είναι άμεσο ότι δεν υπάρχει λύση.
Για έχω
Αν περιττός, τότε επίσης περιττός. Άρα . Τότε οπότε .
Αυτό είναι άτοπο επομένως ο είναι άρτιος, έστω . Τότε
Άρα
Έχουμε
Επειδή το γινόμενο των δύο αριθμών είναι άρτιο και το άθροισμα είναι ισότιμο με πρέπει και οι δύο να είναι άρτιοι με τουλάχιστον τον ένα από τους δύο να μην είναι πολλαπλάσιος του . Πρέπει λοιπόν να έχουμε μια από τις πιο κάτω περιπτώσεις:
Στη δεύτερη περίπτωση έχουμε . Για το δεξί μέλος είναι μικρότερο του , άτοπο. Για παίρνουμε που δίνει τη λύση . Για έχουμε που δίνει , άτοπο.
Στην τρίτη περίπτωση έχουμε . Για να είναι το δεξί μέλος θετικό πρέπει ή που εύκολα απορρίπτονται.
Άρα μοναδικές λύσεις οι και .
Για έχω
Αν περιττός, τότε επίσης περιττός. Άρα . Τότε οπότε .
Αυτό είναι άτοπο επομένως ο είναι άρτιος, έστω . Τότε
Άρα
Έχουμε
Επειδή το γινόμενο των δύο αριθμών είναι άρτιο και το άθροισμα είναι ισότιμο με πρέπει και οι δύο να είναι άρτιοι με τουλάχιστον τον ένα από τους δύο να μην είναι πολλαπλάσιος του . Πρέπει λοιπόν να έχουμε μια από τις πιο κάτω περιπτώσεις:
- και
- και
- και
Στη δεύτερη περίπτωση έχουμε . Για το δεξί μέλος είναι μικρότερο του , άτοπο. Για παίρνουμε που δίνει τη λύση . Για έχουμε που δίνει , άτοπο.
Στην τρίτη περίπτωση έχουμε . Για να είναι το δεξί μέλος θετικό πρέπει ή που εύκολα απορρίπτονται.
Άρα μοναδικές λύσεις οι και .
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες