Συνδυαστική Γεωμετρία

[Demetres]

Δίνονται σημεία στο επίπεδο ανά τρία μη συνευθειακά καθώς και ένας πραγματικός αριθμός .

Γνωρίζουμε ότι για κάθε τέσσερα από αυτά τα σημεία, υπάρχει ένα ώστε η δύναμη αυτό του σημείου ως προς τον κύκλο που ορίζουν τα άλλα τρία να ισούται με .

Να δειχθεί ότι τα σημεία είναι ομοκυκλικά.

[Demetres]

Επαναφορά.

[dement]

Θεωρούμε τις τετράδες , όπου το (ας το πούμε "εξωτερικό") έχει δύναμη ως προς τον κύκλο . Γνωρίζουμε ότι υπάρχουν τουλάχιστον τέτοιες τετράδες οπότε, από τα σημεία, θα υπάρχει ένα το οποίο θα συμμετέχει ως εξωτερικό σε τουλάχιστον τετράδες. Έστω αυτό το σημείο.

Εύκολα διαπιστώνουμε ότι, αν πάρουμε τρεις οποιεσδήποτε τριάδες από ένα σύνολο σημείων, θα υπάρχουν σίγουρα δύο τριάδες με δύο κοινά σημεία. Έτσι, έχουμε δύο τετράδες . Αν οι κύκλοι είναι διαφορετικοί, τότε το ανήκει στον ριζικό τους άξονα και είναι συνευθειακό με τα (άτοπο). Έτσι, τα είναι ομοκυκλικά και, από την τετράδα τους, .

Άρα τα σημεία είναι ομοκυκλικά.

[Demetres]

Ωραία. Την πήρα από εδώ.