Άθροισμα στις τέσσερις γωνίες

#1

Έχουμε ένα σύνολο {221}

πραγματικών αριθμών με άθροισμα {110721}

. Θεωρούμε ότι οι αριθμοί μπορούν να τοποθετηθούν σε μία ορθογώνια σκακιέρα έτσι ώστε κάθε γραμμή, όπως επίσης η πρώτη και η τελευταία στήλη, είναι αριθμητικές πρόοδοι με τουλάχιστον δύο όρους.
Να αποδειχθεί ότι το άθροισμα στις τέσσερις γωνίες της σκακιέρας ισούται με {2004}

.

#2

Έστω ότι οι αριθμοί τοποθετούνται σε έναν πίνακα με $\displaystyle{m}$ γραμμές και $\displaystyle{n}$ στήλες και $\displaystyle{{a_{ij}}}$ είναι ο αριθμός που τοποθετείται στην $\displaystyle{i}$ -στή γραμμή και στην $\displaystyle{j}$ -στή στήλη του πίνακα. Από την υπόθεση έχουμε ότι $\displaystyle{mn = 221.}$ Χρησιμοποιώντας τη σχέση που δίνει το άθροισμα όρων αριθμητικής προόδου, έχουμε ότι:

$\displaystyle{110721 = \sum\limits_{i = 1}^m {\sum\limits_{j = 1}^n {{a_{ij}}} } = \sum\limits_{i = 1}^m {\frac{n}{2}} \left( {{a_{i1}} + {a_{in}}} \right) = \frac{n}{2}\left( {\sum\limits_{i = 1}^m {{a_{i1}}} + \sum\limits_{i = 1}^m {{a_{in}}} } \right) = }$

$\displaystyle{ = \frac{n}{2}\left[ {\frac{m}{2}\left( {{a_{11}} + {a_{m1}}} \right) + \frac{m}{2}\left( {{a_{1n}} + {a_{mn}}} \right)} \right] = \frac{{mn}}{4}\left( {{a_{11}} + {a_{m1}} + {a_{1n}} + {a_{mn}}} \right) = }$

$\displaystyle{ = \frac{{221}}{4}\left( {{a_{11}} + {a_{m1}} + {a_{1n}} + {a_{mn}}} \right),}$

από όπου προκύπτει άμεσα ότι $\displaystyle{{a_{11}} + {a_{m1}} + {a_{1n}} + {a_{mn}} = 2004.}$

Άθροισμα στις τέσσερις γωνίες

Άθροισμα στις τέσσερις γωνίες

Re: Άθροισμα στις τέσσερις γωνίες

Μέλη σε σύνδεση