Διαφορές όχι πρώτοι

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Έχουμε τους αριθμούς $\left\{ 1,2,....2015\right\}$
Πόσους το πολύ μπορούμε να διαλέξουμε από αυτούς ώστε να μην υπάρχουν 2 με διαφορά πρώτο αριθμό.

#2

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Παρ Οκτ 10, 2025 6:32 pm Έχουμε τους αριθμούς $\left\{ 1,2,....2015\right\}$
Πόσους το πολύ μπορούμε να διαλέξουμε από αυτούς ώστε να μην υπάρχουν 2 με διαφορά πρώτο αριθμό.

Σταύρο, θα εκλάβω εξ ορισμού ότι ο

είναι πρώτος αριθμός (όπως γινόταν στα παλιά βιβλία), δηλαδή ότι δεν υπάρχουν όροι του συνόλου που θα επιλέξουμε με διαφορά

. Αν δεν μας αρέσει αυτή η επιλογή, θα το ξαναδώ αλλά έτσι και αλλιώς δεν αλλάζει η ουσία της άσκησης.

Απάντηση: Μπορούμε να διαλέξουμε 504

αριθμούς το πολύ.

Πράγματι, οι 504

αριθμοί της αριθμητικής προόδου $\{ 1, \, 5, \, 9, \, ... \, 2013 \}$ με διαφορά $\omega =4$ διαφέρουν κατά πολλαπλάσια του

, άρα μη πρώτο αριθμό. Συνεπώς ικανοποιούν τους περιορισμούς της άσκησης.

Τώρα, αν a_1 < a_2< ... < a_n

ένα κατάλληλο σύνολο, τότε $a_1\ge 1$ , προφανώς. Ο επόμενος αριθμός, a_2

, δεν μπορεί διαφέρει από τον a_1

κατά

ή

(που είναι πρώτοι), άρα διαφέρει κατά $\ge 4$ , που σημαίνει ότι $a_2\ge 1+4=5$ . Όμοια $a_3 \ge 5+4=9$ και γενικά, με επαγωγή, $a_k\ge 4k-3$ . Άρα δεν μπορεί να έχουμε 505

ή περισσότερους όρους διότι $4\times 505-3 = 2017>2015$ . Με άλλα λόγια έχουμε το πολύ 504

όρους. Αυτό ολοκληρώνει τον συλλογισμό.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε: Παρ Οκτ 10, 2025 11:31 pm
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Παρ Οκτ 10, 2025 6:32 pm Έχουμε τους αριθμούς $\left\{ 1,2,....2015\right\}$
Πόσους το πολύ μπορούμε να διαλέξουμε από αυτούς ώστε να μην υπάρχουν 2 με διαφορά πρώτο αριθμό.
Σταύρο, θα εκλάβω εξ ορισμού ότι ο είναι πρώτος αριθμός (όπως γινόταν στα παλιά βιβλία), δηλαδή ότι δεν υπάρχουν όροι του συνόλου που θα επιλέξουμε με διαφορά . Αν δεν μας αρέσει αυτή η επιλογή, θα το ξαναδώ αλλά έτσι και αλλιώς δεν αλλάζει η ουσία της άσκησης.

Το αποτέλεσμα είναι σωστό.
Το 1 δεν το θεωρούμε πρώτο.

#4

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Σάβ Οκτ 11, 2025 9:32 am Το αποτέλεσμα είναι σωστό.
Το 1 δεν το θεωρούμε πρώτο.

Ωραία. Ας δούμε και αυτή την περίπτωση που, όπως έγραψα παραπάνω, δεν αλλάζει την ουσία της άσκησης:

Είδαμε διάταξη με 504

όρους όπου όλες οι αποστάσεις διαδοχικών όρων είναι

.

Αν κάποιοι αριθμοί Α,Β

σε κάποια διάταξη διαφέρουν κατά (τον μη πρώτο)

τότε ο επόμενος πρέπει να είναι απόσταση $\ge 9$ από τον

. Και αυτό γιατί οι αποστάσεις 2,3,4,5,6,7,8

από τον

απέχουν πρώτο αριθμό από κάποιον από τους

ή

(ο έλεγχος άμεσος). Οπότε η διάταξη αυτή σε ένα μήκος

μονάδων περιέχει το πολύ δύο στοχεία, δηλαδή είναι οικονομικότερη από την διάταξη με απόσταση

. Άρα δεν μας κάνει, και οι 504

όροι που σημείωσα παραμένει ως η πολυπληθέστερη.

#5

https://mathematica.gr/forum/viewtopic. ... 09&t=52712

Διαφορές όχι πρώτοι

Διαφορές όχι πρώτοι

Re: Διαφορές όχι πρώτοι

Re: Διαφορές όχι πρώτοι

Re: Διαφορές όχι πρώτοι

Re: Διαφορές όχι πρώτοι

Μέλη σε σύνδεση