Euler 2013/4
Συντονιστές: Demetres, silouan
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Euler 2013/4
Ας γράψουμε για το πλήθος των μεταθέσεων των ακεραίων οι οποίες ικανοποιούν
Θα δείξουμε αρχικά ότι για κάθε πρέπει .
Ας υποθέσουμε προς άτοπο το αντίθετο. Παίρνω ελάχιστο ώστε . Έστω . Τότε
Άρα Επειδή όμως , πρέπει , άτοπο.
Πρέπει λοιπόν ή .
Αν , τότε ισχυρίζομαι ότι . Έστω ότι αυτό δεν ισχύει. Από τα πιο πάνω, πρέπει . Δεν μπορούμε να έχουμε αφού τότε . Πρέπει λοιπόν . Έστω επαγωγικά ότι για κάθε . Δεν μπορούμε να έχουμε αφού τότε . Με επαγωγή καταλήγουμε σε άτοπο.
Αν , έχουμε μεταθέσεις που ικανοποιούν την συνθήκη. Αν , αφού επίσης , έχουμε μεταθέσεις που ικανοποιούν την συνθήκη. Δηλαδή, .
Αφού, και , τότε , όπου η ακολουθία Fibonacci. Άρα
Θα δείξουμε αρχικά ότι για κάθε πρέπει .
Ας υποθέσουμε προς άτοπο το αντίθετο. Παίρνω ελάχιστο ώστε . Έστω . Τότε
Άρα Επειδή όμως , πρέπει , άτοπο.
Πρέπει λοιπόν ή .
Αν , τότε ισχυρίζομαι ότι . Έστω ότι αυτό δεν ισχύει. Από τα πιο πάνω, πρέπει . Δεν μπορούμε να έχουμε αφού τότε . Πρέπει λοιπόν . Έστω επαγωγικά ότι για κάθε . Δεν μπορούμε να έχουμε αφού τότε . Με επαγωγή καταλήγουμε σε άτοπο.
Αν , έχουμε μεταθέσεις που ικανοποιούν την συνθήκη. Αν , αφού επίσης , έχουμε μεταθέσεις που ικανοποιούν την συνθήκη. Δηλαδή, .
Αφού, και , τότε , όπου η ακολουθία Fibonacci. Άρα
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες