Ευθείες στο επίπεδο

#1

Δίνονται

ευθείες στο επίπεδο. Να βρεθεί ο μέγιστος αριθμός χωρίων στο οποίο διαμερίζουν το επίπεδο.

#2

Demetres έγραψε:Δίνονται ευθείες στο επίπεδο. Να βρεθεί ο μέγιστος αριθμός χωρίων στο οποίο διαμερίζουν το επίπεδο.

Δημήτρη καλημέρα.

Εντελώς τυχαία, κι επειδή αυτές τις μέρες για λόγους
οικογενειακούς βρίσκομαι στη Βασιλεία της Ελβετίας κι
επειδή ακόμα διαμένω σε μια οδό με το όνομα: Munhensteinerstrasse,
έψαχνα για την ιστορία του μεγάλου Jacob Steiner(1796-1863) που
κατάγονταν από το καντόνι της Βέρνης και το εντυπωσιακό πως
υπήρξε μαθητής του μεγάλου παιδαγωγού Pestalozzi ο οποίος
εφάρμοζε τις παιδαγωγικές αντιλήψεις του διαφωτιστή Jean - Jacques Rousseau.

Βρήκα λοιπόν το ακόλουθο που δίνει απάντηση στο ερώτημά σου, και όχι μόνο,
αλλά γενικεύει στο χώρο των 3 διαστάσεων και θίγει και χώρους υψηλότερης
διάστασης:
https://www.youtube.com/watch?v=B086MewazN8
Ο σύνδεσμος αυτός οδηγεί και σε διάφορα άλλα όμορφα
προβλήματα.

Κώστας Δόρτσιος

#3

KDORTSI έγραψε:
Demetres έγραψε:Δίνονται ευθείες στο επίπεδο. Να βρεθεί ο μέγιστος αριθμός χωρίων στο οποίο διαμερίζουν το επίπεδο.
... έψαχνα για την ιστορία του μεγάλου Jacob Steiner(1796-1863)

Κώστα, καλά να περνάς εκεί στα βόρεια.

Πράγματι ο Steiner ήταν ο σημαντικότερος κλασσικός γεωμέτρης της εποχής του και χρησιμοποιούσε μόνο τεχνικές της Συνθετικής Γεωμετρίας. Αποστρεφόταν την Αναλυτική Γεωμετρία, κατά δήλωσή του.

Μέχρι τα

του χρόνια δούλευε ως "ιδιαιτεράς" αλλά ευτυχώς τον ανακάλυψαν οι γίγαντες της εποχής όπως οι Abel, Crelle και Jacobi. Για παράδειγμα τότε ο Humbolt ίδρυσε ειδικά για τον Steiner την έδρα της Γεωμετρίας στο Πανεπιστήμιο του Βερολίνου, για να τον αποκαταστήσει. Εργάστηκε εκεί μέχρι τον θάνατό του.

Το βιβλίο του Systematische Entwickelung είναι σταθμός στην Γεωμετρία.

Για λύση στο πρόβλημα Steiner βλέπε στο φόρουμ μας εδώ

Περιμένω με αγωνία να δω το video που παραπέμπεις. Θα το δω αργότερα από το γραφείο μου γιατί εδώ που είμαι - Κώστα έχεις έλθει και ελπίζω να ξαναέλθεις - η σύνδεση στο ιντερνέτ είναι αργή.

#4

Mihalis_Lambrou έγραψε:
KDORTSI έγραψε:
Demetres έγραψε:Δίνονται ευθείες στο επίπεδο. Να βρεθεί ο μέγιστος αριθμός χωρίων στο οποίο διαμερίζουν το επίπεδο.
... έψαχνα για την ιστορία του μεγάλου Jacob Steiner(1796-1863)
Κώστα, καλά να περνάς εκεί στα βόρεια.

Πράγματι ο Steiner ήταν ο σημαντικότερος κλασσικός γεωμέτρης της εποχής του και χρησιμοποιούσε μόνο τεχνικές της Συνθετικής Γεωμετρίας. Αποστρεφόταν την Αναλυτική Γεωμετρία, κατά δήλωσή του.

Μέχρι τα του χρόνια δούλευε ως "ιδιαιτεράς" αλλά ευτυχώς τον ανακάλυψαν οι γίγαντες της εποχής όπως οι Abel, Crelle και Jacobi. Για παράδειγμα τότε ο Humbolt ίδρυσε ειδικά για τον Steiner την έδρα της Γεωμετρίας στο Πανεπιστήμιο του Βερολίνου, για να τον αποκαταστήσει. Εργάστηκε εκεί μέχρι τον θάνατό του.

Το βιβλίο του Systematische Entwickelung είναι σταθμός στην Γεωμετρία.

Για λύση στο πρόβλημα Steiner βλέπε στο φόρουμ μας εδώ

Περιμένω με αγωνία να δω το video που παραπέμπεις. Θα το δω αργότερα από το γραφείο μου γιατί εδώ που είμαι - Κώστα έχεις έλθει και ελπίζω να ξαναέλθεις - η σύνδεση στο ιντερνέτ είναι αργή.

Μιχάλη καλημέρα.
Ναι, η μέθοδος που χρησιμοποιείται και στο αρχείο που ανήρτησα είναι η επαγωγική.

Όμως εντυπωσιακή είναι διαδρομή του μεγάλου αυτού Γεωμέτρη, όπως την περιγράφεις.
Εγώ θα ήθελα να τονίσω το ρόλο του επίσης μεγάλου παιδαγωγού, του PESTALOZZI!
Ο Steiner υπήρξε μαθητής του, φτωχός καθώς ήταν. Ο Pestalozzi(1746-1827), όπως ανάφερα υπήρξε
ένθερμος υποστηρικτής των ιδεών του Ευρωπαϊκού Διαφωτισμού και ίδρυσε σχολεία για ορφανά αλλά
και για παιδιά με ιδιαίτερες ανάγκες.

Μίλησαν κι έγραψαν πολλοί για το έργο του παιδαγωγού αυτού. Λένε ότι η μέθοδός του
αποτελεί σταθμό μετά τον Πλάτωνα. Μάλιστα μερικοί υποστηρίζουν ότι με τον Pestalozzi
ο πλατωνικός όρος "παιδαγωγικός έρωτας" μετασχηματίζεται σε "παιδαγωγική αγάπη!"

Μιχάλη, εύχομαι να είσαι καλά και μακάρι να ξαναβρεθούμε πάλι εκεί ψηλά στο
σπίτι σου, στις όμορφες πλαγιές του Ηρακλείου, εκεί που είναι το "εργαστήρι" σου,
η "φωλιά" σου και το "πνευματικό σου καταφύγιο" και να μιλάμε για σχετικά θέματα.

Καλημέρα

Κώστας Δόρτσιος

#5

Βάζω ακόμη μια απόδειξη την οποία δεν είδα στην άλλη συζήτηση. Γενικεύεται εύκολα και στον χώρο αλλά και σε μεγαλύτερες διαστάσεις. Ας την δούμε πρώτα για τις ευθείες στο επίπεδο.

Περιστρέφοντας το επίπεδο αν χρειαστεί μπορούμε να υποθέσουμε ότι δεν υπάρχουν δύο σημεία τομής των ευθειών με την ίδια τεταγμένη. (Τιμή του

.)

Χωρίζουμε τα χωρία σε δύο ομάδες. Σε αυτά που είναι φραγμένα από κάτω, και σε αυτά που δεν είναι.

Για κάθε ένα χωρίο που είναι κάτω φραγμένο, έχει ένα και μοναδικό σημείο με ελάχιστη τεταγμένη. Οπότε έχουμε το πολύ $\binom{n}{2}$ κάτω φραγμένα χωρία με ισότητα αν και μόνο αν οι ευθείες έχουν $\binom{n}{2}$ διαφορετικά σημεία τομής. Αυτό συμβαίνει αν και μόνο αν δεν υπάρχουν δύο ευθείες οι οποίες να είναι παράλληλες και επιπλέον δεν υπάρχουν τρεις ή περισσότερες ευθείες με κοινό σημείο τομής. [Επεξεργασία: Τα μπλε προστέθηκαν αργότερα. Δείτε π.χ. την συζήτηση πιο κάτω.]

Για να μετρήσουμε τα χωρία που δεν είναι κάτω φραγμένα φέρνουμε μια ευθεία παράλληλη με τον άξονα των

και η οποία βρίσκεται πιο κάτω από όλα τα σημεία τομής. Οι

ευθείες την χωρίζουν σε n+1

τμήματα και κάθε τμήμα αντιστοιχεί σε ακριβώς ένα μη κάτω φραγμένο χωρίο.

Άρα συνολικά έχουμε το πολύ $\displaystyle{ \binom{n}{2} + n + 1 = \binom{n}{2} + \binom{n}{1} + \binom{n}{0}}$ χωρία με την ισότητα να λαμβάνεται αν και μόνο αν δεν υπάρχουν τρεις ή περισσότερες ευθείες με κοινό σημείο τομής.

Στις τρεις διαστάσεις θα έχουμε $\displaystyle{\binom{n}{3} }$ κάτω φραγμένα χωρία. Για τον αριθμό των μη κάτω φραγμένων χωρίων φέρνουμε ένα επίπεδο παράλληλο με το επίπεδο z=0

και το οποίο είναι πιο κάτω από όλα τα σημεία τομής των επιπέδων ανά τρία. Τα υπόλοιπα επίπεδα τέμνουν αυτό το επίπεδο σε ευθείες. Ο αριθμός των μη κάτω φραγμένων χωρίων ισούται με τον αριθμό των χωρίων στα οποία οι συγκεκριμένες ευθείες διαμερίζουν το επίπεδο. Ο οποίος επαγωγικά είναι το πολύ $\displaystyle{ \binom{n}{2} + \binom{n}{1} + \binom{n}{0}.}$ Άρα η τελική απάντηση είναι $\displaystyle{ \binom{n}{3} + \binom{n}{2} + \binom{n}{1} + \binom{n}{0}.}$

Ομοίως γίνεται και η γενίκευση σε περισσότερες διαστάσεις.

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #6

Demetres έγραψε:...έχουμε το πολύ $\binom{n}{2}$ κάτω φραγμένα χωρία με ισότητα αν και μόνο αν δεν υπάρχουν τρεις ή περισσότερες ευθείες με κοινό σημείο τομής.

Δεν πρέπει να πούμε επιπλέον ότι δεν πρέπει να υπάρχουν παράλληλες ευθείες;

#7

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:
Demetres έγραψε:...έχουμε το πολύ $\binom{n}{2}$ κάτω φραγμένα χωρία με ισότητα αν και μόνο αν δεν υπάρχουν τρεις ή περισσότερες ευθείες με κοινό σημείο τομής.
Δεν πρέπει να πούμε επιπλέον ότι δεν πρέπει να υπάρχουν παράλληλες ευθείες;

Σωστά Διονύση. Θα το διορθώσω.

Ευθείες στο επίπεδο

Ευθείες στο επίπεδο

Re: Ευθείες στο επίπεδο

Re: Ευθείες στο επίπεδο

Re: Ευθείες στο επίπεδο

Re: Ευθείες στο επίπεδο

Re: Ευθείες στο επίπεδο

Re: Ευθείες στο επίπεδο

Μέλη σε σύνδεση