Συνδυαστική Γεωμετρία

Συντονιστές: Demetres, silouan

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7791
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Συνδυαστική Γεωμετρία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Μάιος 17, 2017 3:30 pm

Δίνονται 6 σημεία στο επίπεδο ανά τρία μη συνευθειακά καθώς και ένας πραγματικός αριθμός k.

Γνωρίζουμε ότι για κάθε τέσσερα από αυτά τα σημεία, υπάρχει ένα ώστε η δύναμη αυτό του σημείου ως προς τον κύκλο που ορίζουν τα άλλα τρία να ισούται με k.

Να δειχθεί ότι τα 6 σημεία είναι ομοκυκλικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7791
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Συνδυαστική Γεωμετρία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Μάιος 26, 2017 12:20 pm

Επαναφορά.


dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1366
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Συνδυαστική Γεωμετρία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Σάβ Μάιος 27, 2017 9:54 am

Θεωρούμε τις τετράδες (A,BCD), όπου το A (ας το πούμε "εξωτερικό") έχει δύναμη k ως προς τον κύκλο BCD. Γνωρίζουμε ότι υπάρχουν τουλάχιστον \displaystyle \binom{6}{4}=15 τέτοιες τετράδες οπότε, από τα 6 σημεία, θα υπάρχει ένα το οποίο θα συμμετέχει ως εξωτερικό σε τουλάχιστον \displaystyle \left \lceil \frac{15}{6} \right \rceil = 3 τετράδες. Έστω A αυτό το σημείο.

Εύκολα διαπιστώνουμε ότι, αν πάρουμε τρεις οποιεσδήποτε τριάδες από ένα σύνολο 5 σημείων, θα υπάρχουν σίγουρα δύο τριάδες με δύο κοινά σημεία. Έτσι, έχουμε δύο τετράδες (A,BCD), (A,BCE). Αν οι κύκλοι BCD, BCE είναι διαφορετικοί, τότε το A ανήκει στον ριζικό τους άξονα και είναι συνευθειακό με τα B,C (άτοπο). Έτσι, τα B,C,D,E είναι ομοκυκλικά και, από την τετράδα τους, k=0.

Άρα τα 6 σημεία είναι ομοκυκλικά.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7791
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Συνδυαστική Γεωμετρία

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Μάιος 27, 2017 11:50 pm

Ωραία. Την πήρα από εδώ.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Συνδυαστική - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης