Παρακολούθηση μαθημάτων

#1

Σε ένα καλοκαιρινό σχολείο παραδίδονται

μαθήματα. Κάθε μαθητής παρακολούθησε τουλάχιστον ένα μάθημα και κάθε μάθημα παρακολουθήθηκε από τουλάχιστον

μαθητές. Γνωρίζουμε ότι για κάθε δύο μαθήματα υπάρχουν το πολύ

μαθητές οι οποίοι παρακολούθησαν και τα δύο.

Να δειχθεί ότι στο σχολείο έλαβαν μέρος τουλάχιστον 120

μαθητές.

#2

Αυτή είναι μια κλασική άσκηση που εντάσσεται στο διπλομέτρημα. Πρώτα όμως φτιάχνουμε έναν πίνακα με τα μαθήματα και τους μαθητές.
Στα κελιά αυτού του πίνακα βάζουμε 1 ή 0 ανάλογα αν ο μαθητής παρακολουθεί το μάθημα ή όχι.
Έστω

το πλήθος των μαθητών.
Θα μετρήσουμε με δύο τρόπους τις τριάδες (μαθητής, μάθημα, μάθημα), όπου ο μαθητής παρακολουθεί και τα δύο μαθήματα. Έστω

το πλήθος τους.
Αν σταθεροποιήσουμε ένα ζεύγος μαθημάτων, τότε από την εκφώνηση έχουμε το πολύ

τριάδες. Αφού λοιπόν τα ζεύγη είναι $\binom{7}{2}=21$ θα έχουμε ότι $A\leq 9\cdot 21=189$ .
Επιπλέον οι τριάδες αυτές είναι εκεί που συμφωνούν δύο γραμμές του πίνακα. Αν x_i

είναι το πλήθος των άσσων στην

γραμμή, τότε έχουμε $\displaystyle A=\sum\binom{x_i}{2}=\sum\frac{x_i^2-x_i}{2}$ .

Από C-S έχουμε $n\left(\sum x_i^2\right)\geq S^2$ όπου $S=\sum x_i$ . Ξέρουμε ότι το πλήθος των άσσων σε μία γραμμή είναι τουλάχιστον 40.
Οπότε $S\geq 40$ .

Συνοψίζοντας:

$189\geq A\geq\frac{S^2-nS}{2n}$ οπότε $n\geq\frac{S^2}{2\cdot 189+S}$ και επειδή $S\geq 40$ λόγω της μονοτονίας θα έχουμε $n\geq 120$ .

Πολύ παρόμοιο είναι αυτό: https://artofproblemsolving.com/communi ... 503p124458

#3

silouan έγραψε:Αυτή είναι μια κλασική άσκηση που εντάσσεται στο διπλομέτρημα.

Ακριβώς έτσι. (Υπάρχει όμως ένα τυπογραφικό αφού είναι $S \geqslant 280$ .) Την πήρα από εδώ.

Παρακολούθηση μαθημάτων

Παρακολούθηση μαθημάτων

Re: Παρακολούθηση μαθημάτων

Re: Παρακολούθηση μαθημάτων

Μέλη σε σύνδεση