Σημεία σε κύκλο

[JimNt.]

Δίνονται δύο κύκλοι μήκους . Τοποθετούμε στην περιφέρεια του πρώτου "καλά" σημεία και βάφουμε μπλέ μερικά τόξα με άθροισμα μηκών μικρότερο του στον δεύτερο κύκλο. Στην συνέχεια τοποθετούμε τον ένα κύκλο πάνω στον άλλον. Υπάρχει τοποθέτηση ώστε να μην υφίσταται "καλό" σημείο του πρώτου κύκλου που να βρίσκεται σε μπλε τόξο;

[Demetres]

Δυσκολεύτηκα λίγο να κατανοήσω την εκφώνηση. Ουσιαστικά λέει το εξής:

Έχουμε δυο κύκλους με περιφέρεια μήκους ο κάθε ένας. Ο Γιώργος και ο Γιάννης θα παίξουν το πιο κάτω παιγνίδι:

Ο Γιώργος τοποθετεί σημεία στην περιφέρεια του πρώτου κύκλου, με όποιον τρόπο θέλει. Έπειτα, χρωματίζει μπλε μερικά τόξα της περιφέρειας του δευτέρου κύκλου με άθροισμα μηκών μικρότερο του . Μετά είναι η σειρά του Γιάννη να τοποθετήσει τον ένα κύκλο ακριβώς πάνω στον άλλο. Αν τα καταφέρει χωρίς να βρεθεί ένα από τα σημαδεμένα σημεία του πρώτου κύκλου πάνω σε κάποιο μπλε τόξο, τότε κερδίζει ο Γιάννης. Σε διαφορετική περίπτωση κερδίζει ο Γιώργος. Ποιος από τους δύο παίκτες έχει στρατηγική νίκης;

Το αφήνω ακόμη λίγο προτού βάλω την λύση μου.

[ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ]

Θα δώσω μια λύση εκτός φακέλου.

Θεωρούμε το μέτρο που έχει μάζα 1 στα σημεία.

Εστω το σύνολο από τα τόξα.

Τον κύκλο τον κάνω με μήκος οπότε

όπου το το μέτρο Lebesgue του

Εστω ο κύκλος και δεν κερδίζει ο Γιώργος.

Αυτό σημαίνει ότι για

ισχύει

η χαρακτηριστική του

Ολοκληρώνοντας την τελευταία ως προς το Lebesgue παίρνουμε



Κάνωντας Fubini έχουμε



Αλλά τότε το ολοκλήρωμα είναι μικρότερο από

Ετσι έχουμε ΑΤΟΠΟ.

Προφανώς το 420 δεν παίζει κανένα ρόλο.

Να σημειώσω ότι με λίγο περισσότερο κόπο μπορεί να αποδειχθεί αν το

με την προυπόθεση το να είναι ανοικτό.

[Demetres]

Σταύρο, αυτή είναι ουσιαστικά και η δική μου λύση. Μπορούμε να την μετατρέψουμε και σε λύση εντός φακέλου.

Τοποθετούμε τον πρώτο κύκλο πάνω στον δεύτερο με οποιοδήποτε τρόπο. Για κάθε σημαδεμένο σημείο του πρώτου κύκλου ορίζουμε το σύνολο ως το σύνολο όλων των , ώστε αν περιστρέψουμε τον πρώτο κύκλο ωρολογιακά κατά γωνία , το σημείο θα καταλήξει σε ένα από τα μπλε τόξα.

Κάθε μπλε τόξο μήκους , αντιστοιχεί με αυτόν τον τρόπο σε ένα διάστημα του μήκους . Δηλαδή το είναι ένωση διαστημάτων συνολικού μήκους μικρότερου του . Άρα η ένωση όλων των για κάθε σημαδεμένο σημείο , είναι και αυτή ένωση διαστημάτων συνολικού μήκους μικρότερου του . Δηλαδή υπάρχει στοιχείο του το οποίο δεν ανήκει σε κανένα από τα .

Αν λοιπόν περιστρέψουμε τον πρώτο κύκλο κατά γωνία , τότε κανένα από τα σημαδεμένα σημεία δεν θα ανήκει πάνω σε μπλε τόξο. Κερδίζει δηλαδή ο Γιάννης.