Putnam 1990/A3

#1

Δίνεται κυρτό πεντάγωνο του οποίου οι κορυφές (ανά τρεις μη συνευθειακές) έχουν ακέραιες συντεταγμένες. Να δειχθεί ότι το εμβαδόν του πενταγώνου είναι μεγαλύτερο ή ίσο από 5/2

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #2

Έστω

το πεντάγωνό μας.

Από το Pick's theorem βλέπε εδώ έχουμε πως:

$E+1=\dfrac{b}{2}+i$ , όπου

το εμβαδόν,

το πλήθος των σημείων με ακέραιες συντεταγμένες πάνω στην περίμετρο του πολυγώνου και

τα σημεία με ακέραιες συντεταγμένες εσωτερικά.

Θέλουμε λοιπόν $\dfrac{b}{2}+i\geq \dfrac{7}{2}$ .

Έστω x_i, y_i

οι συντεταγμένες του A_i

. Από την αρχή της περιστεροφωλιάς παρατηρούμε πως τουλάχιστον

σημεία θα έχουν ισοϋπόλοιπες $\pmod{2}$ τις

συντεταγμένες.

Πάλι από την αρχή της περιστεροφωλιάς, από τα

αυτών των σημείων τα

θα είναι ισοϋπόλοιπα $\pmod{2}$ .

Συνοψίζοντας υπάρχουν A_i

και

, έτσι ώστε $x_i\equiv x_j \pmod{2}$ και $y_i\equiv y_j \pmod{2}$ . Επομένως το σημείο με συντεταγμένες $(\dfrac{x_i+x_j}{2} , \dfrac{y_i+y_j}{2})$ έχει ακέραιες συντεταγμένες. Αφού αυτό το σημείο είναι μέσο των A_i

και

, λόγω της κυρτότητας δεν θα είναι εξωτερικό σημείο. Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:

α) Το σημείο αυτό είναι εσωτερικό. Τότε θα είναι $i\geq 1$ και προφανώς $b\geq 5$ (έχουμε τις

κορυφές). Άρα πράγματι $\dfrac{b}{2}+i\geq \dfrac{7}{2}$ .

β) Το σημείο αυτό είναι στην περίμετρο. Τότε αν για την ώρα παραβλέψουμε το A_i

, θα μας μένει ένα πεντάγωνο στο οποίο θα πρέπει επίσης να υπάρχουν δύο κορυφές των οποίο το μέσο να έχει ακέραιες συντεταγμένες. Αν είναι εσωτερικό του αρχικού μας πενταγώνου, θα είναι $i\geq 1$ και $b\geq 6$ , οπότε θα ισχύει η ανισότητα. Αν είναι σημείο της περιμέτρου του αρχικού μας πενταγώνου, θα είναι $b\geq 7$ οπότε πάλι είμαστε βέβαιοι πως θα επαληθεύεται η ανισότητα.

#3

To πρόβλημα έχει εμφανιστεί και εδώ: https://artofproblemsolving.com/communi ... 13p6775154
Αυτή είναι και η πηγή που το γνώριζα, δεν ήξερα ότι είχε πέσει και σε παλιό Putnam.

Putnam 1990/A3

Putnam 1990/A3

Re: Putnam 1990/A3

Re: Putnam 1990/A3

Μέλη σε σύνδεση