Κουμπαράδες στην σειρά

[Demetres]

Σε ένα τραπέζι έχουμε στην σειρά κουμπαράδες. Κάθε μέρα, ο Δημήτρης επιλέγει διαδοχικούς κουμπαράδες και βάζει σε κάθε ένα από αυτούς από ένα νόμισμα.

Μετά από κάποιες μέρες παρατηρήθηκε ότι υπάρχουν κουμπαράδες, όχι απαραίτητα διαδοχικοί, που περιέχουν τον ίδιο (θετικό) αριθμό νομισμάτων.

Ποια είναι η μέγιστη δυνατή τιμή του ;

[Ορέστης Λιγνός]

Θα αποδείξουμε πρώτα ότι ισχύει .

Προς άτοπο, έστω ότι γίνεται , και έστω το κοινό πλήθος νομισμάτων των κουμπαράδων αυτών.

Έστω τα νομίσματα που περιέχουν οι κουμπαράδες.

Για , ορίζουμε (π.χ. ).

Εύκολα παρατηρούμε ότι όλα τα είναι ίσα μεταξύ τους. Π.χ. γιατί αν προσθέσουμε ένα νόμισμα στον κουμπαρά με πλήθος νομισμάτων π.χ. , στην 15-άδα που διαλέξαμε ανήκει ή ο ή ο , οπότε κάθε φορά που προστίθεται νόμισμα στο , προστίθεται και στο , ό.έ.δ.

Ορίζουμε έναν κουμπαρά ως καλό, αν έχει πλήθος νομισμάτων .

Καταρχήν παρατηρούμε ότι τα αθροίσματα , με έχουν προσθετέους, ενώ τα αθροίσματα , με έχουν προσθετέους.

Θα αποδείξουμε το εξής Λήμμα:

Λήμμα

Υπάρχουν δείκτες ώστε στα αθροίσματα όλοι οι προσθετέοι είναι καλοί κουμπαράδες.

Θα δειχτεί πρώτα το εξής Λήμμα 1 (ως μέρος της απόδειξης του Λήμματος πιο πάνω):

Λήμμα 1
Σε ένα τουλάχιστον εκ των , με όλοι οι προσθετέοι είναι καλοί κουμπαράδες.

Απόδειξη

Αν σε κανένα εκ των όλοι οι προσθετέοι δεν είναι καλοί, τότε το μέγιστο πλήθος των καλών κουμπαράδων είναι το πολύ , άτοπο, οπότε το Λήμμα 1 αποδείχτηκε.

Έστω λοιπόν ότι ο κουμπαράς έχει όλα τα στοιχεία του καλά. Με την διαδικασία του Λήμματος 1, δείχνουμε ότι τουλάχιστον ακόμη εκ των πρέπει να έχουν όλα τα στοιχεία τους καλά. Αν τώρα κάποιος εκ των έχει τα στοιχεία του καλά, το αρχικό Λήμμα αποδείχτηκε. Αν όχι, τότε όλοι οι πρέπει να έχουν όλα τα στοιχεία τους καλά. Πάλι, όμως, μένει ένα ακόμη που πρέπει να έχει όλα τα στοιχεία του καλά, και προφανώς αυτό ανήκει στα

Έστω λοιπόν τα δύο αυτά αθροίσματα, με όλους τους προσθετέους να είναι καλοί κουμπαράδες.

Το είναι άθροισμα καλών κουμπαράδων, με καθένα τιμή .

Το είναι άθροισμα καλών κουμπαράδων, με καθένα τιμή .

Τότε, αφού , όπως δείχτηκε στην αρχή, είναι , άτοπο.

Επομένως, .

Για πραγματοποιούμε την εξής κατασκευή :

Για , επιλέγουμε τους .

Επίσης, επιλέγουμε τους Νο - κουμπαράδες.

Έτσι , κάθε ένας εκ των κουμπαράδων έχει ένα νόμισμα, άρα επιτυγχάνεται η τιμή .

Τελικά, .

[dement]

Θα δείξουμε ότι στο σύνολο , ένα εκ των έχει όλους τους προσθετέους καλούς, και στο σύνολο ένα εκ των έχει όλους τους προσθετέους καλούς.

Αν σε κανένα εκ των όλοι οι προσθετέοι είναι καλοί, ..., άτοπο.

Προσοχή Ορέστη, η υπόθεσή σου προς άτοπο δεν είναι το αντίθετο αυτού που θέλεις να δείξεις (έβαλα σε bold δύο λέξεις).

[Altrian]

Καλημέρα,
Με μια απλή προσέγγιση μπορούμε εύκολα να επιτύχουμε . Ξεκινώντας από την πρώτη 15άδα την πρώτη μέρα (Νο 1 - Νο15) την δεύτερη 15άδα την δεύτερη μέρα κοκ, μετά από 134 μέρες θα έχουμε κουμπαράδες στην σιερά με ένα νόμισμα έκαστος. Την επόμενη ημέρα τοποθετούμε από ένα νόμισμα στους 15 τελευταίους κουμπαράδες (Νο2004 ως Νο2018). Τότε 7 κουμπαράδες (Νο 2004 ως και Νο2010) θα έχουν 2 νομίσματα και οι υπόλοιποι 2011 από 1. Αρα υπάρχει . Διασθητικά φαίνεται να είναι και το μέγιστο ζητούμενο.

[Demetres]

Η σωστή απάντηση είναι 2011 με κατασκευή όπως στην ανάρτηση του Altrian.

Η ιδέα του Ορέστη, όταν διορθωθεί θα δείξει ότι δεν μπορούμε να έχουμε περισσότερα.

[Ορέστης Λιγνός]

Έγινε η επεξεργασία. Ευχαριστώ για την διόρθωση (νομίζω ήταν λίγο ασαφής η διατύπωση).

Επίσης, το τελευταίο κομμάτι της λύσης (απόδειξη ότι το μας κάνει), το αντέγραψα από τον Altrian, ώστε να υπάρχει πλήρης η λύση.